Metamath Proof Explorer		< Previous   Next > Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0.999...		Structured version   Visualization version   Unicode version

---

Theorem 0.999... 16076

Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. , is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0.999...	;

---

Proof of Theorem 0.999...

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 12467	. . . . 5
2		10re 12861	. . . . . . 7 ;
3	2	recni 11347	. . . . . 6 ;
4		nnnn0 12637	. . . . . 6
5		expcl 14246	. . . . . 6 ; ;
6	3, 4, 5	sylancr 599	. . . . 5 ;
7	3	a1i 11	. . . . . 6 ;
8		10pos 12859	. . . . . . . 8 ;
9	2, 8	gt0ne0ii 11876	. . . . . . 7 ;
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ;
11		nnz 12738	. . . . . 6
12	7, 10, 11	expne0d 14319	. . . . 5 ;
13		divrec 12014	. . . . 5 ; ; ; ;
14	1, 6, 12, 13	mp3an2i 1496	. . . 4 ; ;
15	7, 10, 11	exprecd 14321	. . . . 5 ; ;
16	15	oveq2d 7456	. . . 4 ; ;
17	14, 16	eqtr4d 2801	. . 3 ; ;
18	17	sumeq2i 15891	. 2 ; ;
19	2, 9	rereccli 12106	. . . . 5 ;
20	19	recni 11347	. . . 4 ;
21		0re 11334	. . . . . . 7
22	2, 8	recgt0ii 12247	. . . . . . 7 ;
23	21, 19, 22	ltleii 11457	. . . . . 6 ;
24	19	absidi 15571	. . . . . 6 ; ; ;
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ; ;
26		1lt10 12983	. . . . . 6 ;
27		recgt1 12237	. . . . . . 7 ; ; ; ;
28	2, 8, 27	mp2an 705	. . . . . 6 ; ;
29	26, 28	mpbi 233	. . . . 5 ;
30	25, 29	eqbrtri 5129	. . . 4 ;
31		geoisum1c 16075	. . . 4 ; ; ; ; ;
32	1, 20, 30, 31	mp3an 1491	. . 3 ; ; ;
33	1, 3, 9	divreci 12086	. . . 4 ; ;
34	1, 3, 9	divcan2i 12084	. . . . . 6 ; ;
35		ax-1cn 11282	. . . . . . . 8
36	3, 35, 20	subdii 11789	. . . . . . 7 ; ; ; ; ;
37	3	mulridi 11337	. . . . . . . 8 ; ;
38	3, 9	recidi 12072	. . . . . . . 8 ; ;
39	37, 38	oveq12i 7452	. . . . . . 7 ; ; ; ;
40		10m1e9 12939	. . . . . . 7 ;
41	36, 39, 40	3eqtrri 2791	. . . . . 6 ; ;
42	34, 41	eqtri 2786	. . . . 5 ; ; ; ;
43		9re 12466	. . . . . . . 8
44	43, 2, 9	redivcli 12108	. . . . . . 7 ;
45	44	recni 11347	. . . . . 6 ;
46	35, 20	subcli 11658	. . . . . 6 ;
47	45, 46, 3, 9	mulcani 11979	. . . . 5 ; ; ; ; ; ;
48	42, 47	mpbi 233	. . . 4 ; ;
49	33, 48	oveq12i 7452	. . 3 ; ; ; ;
50		9pos 12483	. . . . . 6
51	43, 2, 50, 8	divgt0ii 12258	. . . . 5 ;
52	44, 51	gt0ne0ii 11876	. . . 4 ;
53	45, 52	dividi 12074	. . 3 ; ;
54	32, 49, 53	3eqtr2i 2792	. 2 ;
55	18, 54	eqtri 2786	1 ;

Colors of variables:    wff setvar class

This proof depends on syntax axioms:   wb 209   wceq 1570   wcel 2147   wne 2959   class class class wbr 5106  cfv 6555  (class class class)co 7440  cc 11222  cr 11223  cc0 11224  c1 11225   cmul 11229   clt 11367   cle 11368   cmin 11565   cdiv 11997  cn 12359  c9 12428  cn0 12630  ;cdc 12838  cexp 14228  cabs 15427  csu 15879

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-pm 8875  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880

This theorem is used by: (None)

Copyright terms: Public domain

W3C validator