Metamath Proof Explorer		< Previous   Next > Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0.999...		Structured version   Visualization version   Unicode version

---

Theorem 0.999... 15935

Description: The recurring decimal 0.999..., which is defined as the infinite sum 0.9 + 0.09 + 0.009 + ... i.e. , is exactly equal to 1, according to ZF set theory. Interestingly, about 40% of the people responding to a poll at http://forum.physorg.com/index.php?showtopic=13177 disagree. (Contributed by NM, 2-Nov-2007.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
0.999...	;

---

Proof of Theorem 0.999...

Step	Hyp	Ref	Expression
1		9cn 12341	. . . . 5
2		10re 12734	. . . . . . 7 ;
3	2	recni 11223	. . . . . 6 ;
4		nnnn0 12511	. . . . . 6
5		expcl 14115	. . . . . 6 ; ;
6	3, 4, 5	sylancr 598	. . . . 5 ;
7	3	a1i 11	. . . . . 6 ;
8		10pos 12732	. . . . . . . 8 ;
9	2, 8	gt0ne0ii 11750	. . . . . . 7 ;
10	9	a1i 11	. . . . . 6 ;
11		nnz 12612	. . . . . 6
12	7, 10, 11	expne0d 14188	. . . . 5 ;
13		divrec 11888	. . . . 5 ; ; ; ;
14	1, 6, 12, 13	mp3an2i 1492	. . . 4 ; ;
15	7, 10, 11	exprecd 14190	. . . . 5 ; ;
16	15	oveq2d 7427	. . . 4 ; ;
17	14, 16	eqtr4d 2807	. . 3 ; ;
18	17	sumeq2i 15749	. 2 ; ;
19	2, 9	rereccli 11980	. . . . 5 ;
20	19	recni 11223	. . . 4 ;
21		0re 11210	. . . . . . 7
22	2, 8	recgt0ii 12121	. . . . . . 7 ;
23	21, 19, 22	ltleii 11333	. . . . . 6 ;
24	19	absidi 15429	. . . . . 6 ; ; ;
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . 5 ; ;
26		1lt10 12856	. . . . . 6 ;
27		recgt1 12111	. . . . . . 7 ; ; ; ;
28	2, 8, 27	mp2an 704	. . . . . 6 ; ;
29	26, 28	mpbi 233	. . . . 5 ;
30	25, 29	eqbrtri 5136	. . . 4 ;
31		geoisum1c 15934	. . . 4 ; ; ; ; ;
32	1, 20, 30, 31	mp3an 1487	. . 3 ; ; ;
33	1, 3, 9	divreci 11960	. . . 4 ; ;
34	1, 3, 9	divcan2i 11958	. . . . . 6 ; ;
35		ax-1cn 11158	. . . . . . . 8
36	3, 35, 20	subdii 11663	. . . . . . 7 ; ; ; ; ;
37	3	mulridi 11213	. . . . . . . 8 ; ;
38	3, 9	recidi 11946	. . . . . . . 8 ; ;
39	37, 38	oveq12i 7423	. . . . . . 7 ; ; ; ;
40		10m1e9 12812	. . . . . . 7 ;
41	36, 39, 40	3eqtrri 2797	. . . . . 6 ; ;
42	34, 41	eqtri 2792	. . . . 5 ; ; ; ;
43		9re 12340	. . . . . . . 8
44	43, 2, 9	redivcli 11982	. . . . . . 7 ;
45	44	recni 11223	. . . . . 6 ;
46	35, 20	subcli 11534	. . . . . 6 ;
47	45, 46, 3, 9	mulcani 11853	. . . . 5 ; ; ; ; ; ;
48	42, 47	mpbi 233	. . . 4 ; ;
49	33, 48	oveq12i 7423	. . 3 ; ; ; ;
50		9pos 12357	. . . . . 6
51	43, 2, 50, 8	divgt0ii 12132	. . . . 5 ;
52	44, 51	gt0ne0ii 11750	. . . 4 ;
53	45, 52	dividi 11948	. . 3 ; ;
54	32, 49, 53	3eqtr2i 2798	. 2 ;
55	18, 54	eqtri 2792	1 ;

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:   wb 209   wceq 1567   wcel 2149   wne 2964   class class class wbr 5113  cfv 6537  (class class class)co 7411  cc 11098  cr 11099  cc0 11100  c1 11101   cmul 11105   clt 11243   cle 11244   cmin 11441   cdiv 11871  cn 12233  c9 12302  cn0 12504  ;cdc 12711  cexp 14097  cabs 15285  csu 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738

This theorem is referenced by: (None)

Copyright terms: Public domain

W3C validator