০.৯৯৯...

০.৯৯৯... একটি পৌনঃপুনিক দশমিক সংখ্যা যা একটি বাস্তব সংখ্যাকে নির্দেশ করে। একে অন্যভাবেও লিখা যায়: $0. \bar{9}, 0. \dot{9}$ অথবা $0. (9)$ । নির্দিষ্টভাবে এই সংখ্যাটিকে ১-এর সমান ধরা হয়। অর্থাৎ ০.৯৯৯... সংখ্যাটি সংখ্যাগত দিক থেকে ১-কেই নির্দেশ করে। এই বিষয়কে কেন্দ্র করে গণিতের বিভিন্ন শাখায় অনেকগুলো প্রামাণিক উপপাদ্যের সৃষ্টি হয়েছে।

প্রমাণ

বীজগাণিতিক

ধরা যাক x= 0.999..... তাহলে, 10x = 9.999.....

অতএব, (10x - x)= (9.999.... - 0.999....) বা, 9x = 9 অতঃপর নিশ্চিতভাবেই x = 1.

অর্থাৎ, 0.999... মানে প্রায় 1 নয়! একেবারে কাটায় কাটায় 1.

ভগ্নাংশ এবং দীর্ঘ বিভাজন

অসীম দশমিক যে সসীম দশমিকেরই একটিপরিবর্ধিত রূপ তার কারণ হল ভগ্নাংশে প্রকাশ। দীর্ঘ বিভাজন ব্যবহার করে ১⁄৩ এর মতো অতি সরল পূর্ণ সাংখ্যিক বিভজনকেও পুনরাবৃত্তিক ভগ্নাংশে পরিণত করা যায়, যাতে অঙ্কগুলো অসীম পর্যন্ত পুনরাবৃত্ত হয়। এই দশমিক ০.৯৯৯%=১ এর একটি দ্রুততর প্রমাণ প্রদান করে। ৩ কে ৩ দিয়ে গুণ করলে প্রতিটি অঙ্ক ৯ হয়, তাই ৩ x ০.৩৩৩% সমান ০.৯৯৯%। আবার ৩ × ১⁄৩ সমান ১, তাই ০.৯৯৯… = ১।^[১] এ প্রমাণের আরেকটি রূপে ভগ্নাংশ ১⁄৯ = ০.১১১… কে ৯ দ্বারা গুণ করা হয়।

\begin{matrix} 0.333 \dots & = \frac{1}{3} \\ 3 \times 0.333 \dots & = 3 \times \frac{1}{3} = \frac{3 \times 1}{3} \\ 0.999 \dots & = 1 \end{matrix}

\begin{matrix} 0.111 \dots & = \frac{1}{9} \\ 9 \times 0.111 \dots & = 9 \times \frac{1}{9} = \frac{9 \times 1}{9} \\ 0.999 \dots & = 1 \end{matrix}

তথ্যসূত্র

↑ cf. with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. আইএসবিএন ০-৩১২-১৮৫৪৮-০.

বহিঃসংযোগ

গণিত বিষয়ক এই নিবন্ধটি অসম্পূর্ণ। আপনি চাইলে এটিকে সম্প্রসারিত করে উইকিপিডিয়াকে সাহায্য করতে পারেন।

[CME-1] . with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. আইএসবিএন ০-৩১২-১৮৫৪৮-০.

[১]