Prova t de Student

En estadística, un T-Test o prova t de Student , prova t-Student , és qualsevol prova en la qual l'estadístic utilitzat té una distribució t de Student si la hipòtesi nul·la és certa. S'aplica quan la població s'assumeix ser normal, però el volum mostral és massa petit perquè l'estadístic en què està basada la inferència estigui normalment distribuït, utilitzant una estimació de la desviació típica en lloc del valor real.

Història

William Sealey Gosset, que va desenvolupar l'estadística-t i va publicar-ho sota el pseudònim de Student.

El terme estadística-t és una abreviatura d'estadística de test d'hipòtesi. En estadística, la distribució-t va ser derivada per primer cop com a distribució a posteriori l'any 1876 per Helmert i Lüroth. La distribucuió-t també va aparèixer en una forma més general com a distribució de Pearson de Tipus IV en un article de Karl Pearson de 1895. Tanmateix, la distribució-T, també coneguda com distribució t de Student rep el nom de William Sealey Gosset que la va publicar per primer cop en anglès l'any 1908 en la revista científica Biometrika usant el pseudònim de Student ('estudiant') ja que el seu patró preferia que el seu equip usés noms de ploma quan publiquessin articles científics en lloc d'usar el seus propis noms, així que va usar el nom de Student per tal d'ocultar la seva identitat. Gosset treballava en la Guinness Brewery de Dublín, a Irlanda, i li interessaven els problemes en què les mostres eren petites – per exemple, les propietats químiques de l'ordi en petites quantitats. Així doncs, una segona versió de l'etimologia del terme Student és que Guinness no volia que els seus competidors sabessin que estaven utilitzant la prova t per determinar la qualitat de les matèries primeres. Tot i que va ser a William Gosset a qui se li va atribuir el nom de Student, va ser de fet a través de l'obra de Ronald Fisher que la distribució es va popularitzar com la distribució de Student i la prova t de Student.

Gosset va ser contractat seguint la política de Claude Guinness de reclutar els millors graduats d'Oxford i de Cambridge perquè apliquessin la bioquímica i l'estadística als processos industrials de Guinness. Gosset va desenvolupar la prova t com un mètode econòmic de control de qualitat de la cervesa stout. L'article sobre la prova t va ser acceptat en la revista científica Biometrika i es va publicar l'any 1908.

Guinness tenia una política de permetre al personal més tècnic de marxar per estudiar, que Gosset va utilitzar durant els primers dos quatrimestres de l'any acadèmic 1906–1907 al Laboratori Biomètric del Professor Karl Pearson al University College de Londres. La identitat de Gosset va ser llavors revelada als seus companys estadístics i al seu editor en cap Karl Pearson.

Usos

Entre els usos més freqüents de les proves t hi podem trobar:

• El test de posició de mostra única pel qual es comprova si la mitjana d'una població que es coneix té una distribució normal, té un valor especificat en una hipòtesi nul·la.
• El test de posició per a dues mostres, pel qual es comprova si les mitges de dues poblacions distribuïdes en forma normal són iguals. Tots aquests test són usualment anomenats test t de Student, tot i que estrictament parlant, tal nom només hauria de ser utilitzat si les variables de les dues poblacions estudiades poden ser assumides com a iguals; la forma dels assaigs que s'utilitzen quan aquesta suposició es deixa de banda solen ser anomenats de vegades com Prova t de Welch. Aquestes proves solen ser comunament anomenades com a proves t desaparellades o de mostres independents, pel fet que tenen la seva aplicació més típica quan les unitats estadístiques que defineixen a ambdues mostres que estan sent comparades no se superposen.
• El test d'hipòtesi nul·la pel qual es demostra que la diferència entre dues respostes mesurades a les mateixes unitats estadístiques és zero. Per exemple, suposeu que es mesura la mida del tumor d'un pacient amb càncer. Si el tractament resulta efectiu, l'esperable seria que el tumor de molts pacients disminuís de mida després de seguir el tractament. Això sovint és referit com a prova t de mesuraments aparellats o repetits.
• El test per comprovar si el pendent d'una regressió lineal difereix estadísticament de zero.

Implementacions de programari

Molts programes de fulls de càlcul i paquets d'estadística, com ara QtiPlot, LibreOffice Calc, Microsoft Excel, SAS, SPSS, Stata, DAP, gretl, R, Python, PSPP, Wolfram Mathematica, MATLAB i Minitab, són implementacions de la Prova t de Student.

Languatge/programa	Funció	Referències
Microsoft Excel pre 2010	TTEST(array1, array2, tails, type)
Microsoft Excel 2010 and later	T.TEST(array1, array2, tails, type)
Apple Numbers	TTEST(sample-1-values, sample-2-values, tails, test-type)
LibreOffice Calc	TTEST(Data1; Data2; Mode; Type)
Google Sheets	TTEST(range1, range2, tails, type)
Perl	t_test( $arr1, $arr2, var_equal => 1)
Python	scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)
MATLAB	ttest(data1, data2)
Mathematica	TTest[{data1,data2}]
R	t.test(data1, data2, var.equal=TRUE)
SAS	PROC TTEST
Java	tTest(sample1, sample2)
Julia	EqualVarianceTTest(sample1, sample2)
Stata	ttest data1 == data2

Proves estadístiques relacionades

Alternatives a la prova t per a problemes de localització

La prova t proporciona una prova exacta de la igualtat de les mitjanes de dues poblacions normals iid amb variàncies desconegudes, però iguals. (La prova t de Welch és una prova gairebé exacta per al cas on les dades són normals però les variàncies poden diferir.) Per a mostres moderadament grans i una prova unilateral, la prova t és relativament robusta per a violacions moderades de la suposició de normalitat. En mostres prou grans, la prova t s'aproxima asimptòticament a la prova z i esdevé robusta fins i tot a grans desviacions de la normalitat.

Si les dades són substancialment no normals i la mida de la mostra és petita, la prova t pot donar resultats enganyosos. Vegeu la prova de localització per a distribucions de mescles a escala gaussiana per a alguna teoria relacionada amb una família particular de distribucions no normals.

Quan la suposició de normalitat no es compleix, una alternativa no paramètrica a la prova t pot tenir una millor potència estadística. Tanmateix, quan les dades no són normals amb diferents variàncies entre grups, una prova t pot tenir un millor control d'error de tipus 1 que algunes alternatives no paramètriques. A més, els mètodes no paramètrics, com ara la prova U de Mann-Whitney que es descriu més endavant, normalment no proven una diferència de mitjanes, per la qual cosa s'han d'utilitzar amb precaució si una diferència de mitjanes és d'interès científic primordial. Per exemple, la prova U de Mann-Whitney mantindrà l'error de tipus 1 al nivell alfa desitjat si tots dos grups tenen la mateixa distribució. També tindrà poder per detectar una alternativa en què el grup B tingui la mateixa distribució que A però després d'un cert desplaçament d'una constant (en aquest cas hi hauria una diferència en les mitjanes dels dos grups). Tanmateix, hi podria haver casos en què el grup A i el grup B tinguin distribucions diferents però amb les mateixes mitjanes (com ara dues distribucions, una amb asimetria positiva i l'altra amb una de negativa, però desplaçades per tenir les mateixes mitjanes). En aquests casos, MW podria tenir més que un poder alfa en rebutjar la hipòtesi nul·la, però atribuir la interpretació de la diferència de mitjanes a aquest resultat seria incorrecte.

En presència d'un valor atípic, la prova t no és robusta. Per exemple, per a dues mostres independents quan les distribucions de dades són asimètriques (és a dir, les distribucions estan esbiaixades) o les distribucions tenen cues grans, la prova de suma de rangs de Wilcoxon (també coneguda com a prova U de Mann-Whitney) pot tenir una potència de tres a quatre vegades més alta que la prova t. La contrapart no paramètrica de la prova t per a mostres aparellades és la prova de rang amb signe de Wilcoxon per a mostres aparellades. Per a una discussió sobre l'elecció entre la prova t i les alternatives no paramètriques, vegeu Lumley, et al. (2002).

L'anàlisi de la variància unidireccional (ANOVA) generalitza la prova t de dues mostres quan les dades pertanyen a més de dos grups.

Un disseny que inclou tant observacions aparellades com observacions independents

Quan en el disseny de dues mostres hi ha tant observacions aparellades com observacions independents, suposant que falten dades completament aleatòries (MCAR), les observacions aparellades o les observacions independents es poden descartar per tal de procedir amb les proves estàndard anteriors. Alternativament, fent ús de totes les dades disponibles, assumint normalitat i MCAR, es podria utilitzar la prova t de mostres parcialment superposades generalitzades.

Proves multivariants

Una generalització de l'estadística t de Student, anomenada estadística t al quadrat de Hotelling, permet provar hipòtesis en múltiples mesures (sovint correlacionades) dins de la mateixa mostra. Per exemple, un investigador podria sotmetre diversos subjectes a un test de personalitat que consisteix en múltiples escales de personalitat (per exemple, el Minnesota Multiphasic Personality Inventory). Com que les mesures d'aquest tipus solen estar correlacionades positivament, no és recomanable dur a terme proves t univariants separades per provar hipòtesis, ja que aquestes negligirien la covariància entre les mesures i inflarien la possibilitat de rebutjar falsament almenys una hipòtesi (error de tipus I). En aquest cas, és preferible una única prova multivariant per a la prova d'hipòtesis. El mètode de Fisher per combinar múltiples proves amb alfa reduïda per a una correlació positiva entre proves n'és un. Una altra és 2 estadística T₂ de Hotelling 2 segueix una distribució T₂. No obstant això, a la pràctica la distribució s'utilitza rarament, ja que els valors tabulats per 2 T₂ són difícils de trobar. Normalment, T2 2 converteix en una estadística F.

Per a una prova multivariant d'una mostra, la hipòtesi és que el vector mitjà (μ) és igual a un vector donat (μ₀. L'estadística de prova és 2 t² de Hotelling:

$t^{2}=n({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})'{\mathbf {S} }^{-1}({\bar {\mathbf {x} }}-{{\boldsymbol {\mu }}_{0}})$

on n és la mida de la mostra, x és el vector de mitjanes de columna i S és una matriu de covariància mostral m × m.

Per a una prova multivariant de dues mostres, la hipòtesi és que els vectors mitjans (μ₁, μ₂ de dues mostres són iguals. L'estadístic de prova és 2 t² de dues mostres de Hotelling:

$t^{2}={\frac {n_{1}n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right)'{\mathbf {S} _{\text{pooled}}}^{-1}\left({\bar {\mathbf {x} }}_{1}-{\bar {\mathbf {x} }}_{2}\right).$

La prova t de dues mostres és un cas especial de regressió lineal simple

La prova t de dues mostres és un cas especial de regressió lineal simple Aquesta relació s'il·lustra amb el següent exemple.

Un assaig clínic examina 6 pacients als quals se'ls administra un fàrmac o un placebo. Tres (3) pacients reben 0 unitats de fàrmac (el grup placebo). Tres (3) pacients reben 1 unitat de fàrmac (el grup de tractament actiu). Al final del tractament, els investigadors mesuren el canvi respecte al valor inicial en el nombre de paraules que cada pacient pot recordar en una prova de memòria.

A continuació es mostra una taula amb el record de paraules i els valors de la dosi del fàrmac dels pacients.

Pacient	dosi de fàrmac	Record de paraules
1	0	1
2	0	2
3	0	3
4	1	5
5	1	6
6	1	7

Es proporcionen dades i codi per a l'anàlisi utilitzant el llenguatge de programació R amb les funcions t.test i lm per a la prova t i la regressió lineal. Aquí teniu les mateixes dades (fictícies) generades a R.

> word.recall.data=data.frame(drug.dose=c(0,0,0,1,1,1), word.recall=c(1,2,3,5,6,7))

Realitzeu la prova t. Tingueu en compte que la suposició de la igualtat de la variància, var.equal=T, és necessària per fer que l'anàlisi sigui exactament equivalent a una regressió lineal simple.

> with(word.recall.data, t.test(word.recall~drug.dose, var.equal=T))

L'execució del codi R dóna els següents resultats.

• El record mitjà de record de paraules en el grup 0 dosi de fàrmac és 2.
• El record mitjà de record de paraules en el grup 1 dosi de fàrmac és 6.
• La diferència entre els grups de tractament en la mitjana de record de paraules és 6 – 2 = 4.
• La diferència en el record de paraules entre les dosis del fàrmac és significativa (p = 0,00805).

Feu una regressió lineal de les mateixes dades. Els càlculs es poden realitzar utilitzant la funció R lm() per a un model lineal.

> word.recall.data.lm = lm(word.recall~drug.dose, data=word.recall.data)

> summary(word.recall.data.lm)

La regressió lineal proporciona una taula de coeficients i valors p.

Coeficient	Estimació	Error estàndard	valor t	Valor P
Intercepció	2	0,5774	3,464	0,02572
dosi de fàrmac	4	0,8165	4,899	0,000805

La taula de coeficients dóna els resultats següents.

• El valor estimat de 2 per a la intersecció és el valor mitjà del record de paraules quan la dosi del fàrmac és 0.
• El valor estimat de 4 per a la dosi del fàrmac indica que per a un canvi d'1 unitat en la dosi del fàrmac (de 0 a 1) hi ha un canvi de 4 unitats en el record mitjà de paraules (de 2 a 6). Aquest és el pendent de la recta que uneix les dues mitjanes de grup.
• El valor p que indica que el pendent de 4 és diferent de 0 és p = 0,00805.

Els coeficients de la regressió lineal especifiquen el pendent i la intersecció de la recta que uneix les dues mitjanes de grup, tal com s'il·lustra al gràfic. La intersecció és 2 i el pendent és 4.

Compareu el resultat de la regressió lineal amb el resultat de la prova t.

• A partir de la prova t, la diferència entre les mitjanes del grup és 6-2 = 4.
• A partir de la regressió, el pendent també és de 4, cosa que indica que un canvi d'1 unitat en la dosi del fàrmac (de 0 a 1) dóna un canvi de 4 unitats en el record mitjà de paraules (de 2 a 6).
• El valor p de la prova t per a la diferència de mitjanes i el valor p de regressió per al pendent són tots dos de 0,00805. Els mètodes donen resultats idèntics.

Aquest exemple mostra que, per al cas especial d'una regressió lineal simple on hi ha una única variable x que té valors 0 i 1, la prova t dóna els mateixos resultats que la regressió lineal. La relació també es pot mostrar algebraicament.

Reconèixer aquesta relació entre la prova t i la regressió lineal facilita l'ús de la regressió lineal múltiple i l'anàlisi de la variància multidireccional. Aquestes alternatives a les proves t permeten la inclusió de variables explicatives addicionals que s'associen amb la resposta. La inclusió d'aquestes variables explicatives addicionals mitjançant regressió o anova redueix la variància que d'altra manera no s'explicaria i, normalment, proporciona una major potència per detectar diferències que les proves t de dues mostres.

Bibliografia

• O'Mahony, Michael. CRC Press. Sensory Evaluation of Food: Statistical Methods and Procedures, 1986. ISBN 0-82477337-3. 
• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery. Cambridge University Press. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, 1992. ISBN 0-521-43108-5. 
• Boneau, C. Alan «The effects of violations of assumptions underlying the t test». Psychological Bulletin, 57, 1960, p. 49–64. DOI: 10.1037/h0041412.
• Edgell, Stephen E.; Noon, Sheila M. «Effect of violation of normality on the t test of the correlation coefficient». Psychological Bulletin, 95, 1984, p. 576–583. DOI: 10.1037/0033-2909.95.3.576.
• Senn, S.; Richardson, W. «The first t-test». Statistics in Medicine, 13, 1994, p. 785–803. DOI: 10.1002/sim.4780130802. PMID: 8047737.
• Macmillan. Introduction to Mathematical Statistics. 4th, 1978. 
• Venables, W. N.; Ripley, B. D.. Springer. Modern Applied Statistics with S. Fourth, 2002. 
• Gelman, Andrew; John B. Carlin; Hal S. Stern; Donald B. Rubin. CRC/Chapman & Hall. Bayesian Data Analysis (Second Edition), 2003. ISBN 1-58488-388-X. 
• Elsevier. Mathematics for physical chemistry. 3a, 2005, p. 326. ISBN 9780080492889. OCLC 156200058. 
• «Applications of "Student's" distribution». Metron, 5, 1925, p. 90–104.
• Pearson. Probability & Statistics for Engineers & Scientists. 7a, 2006, p. 237. ISBN 9788177584042. OCLC 818811849. 
• Academic Press. Doing Bayesian Data Analysis. 2a edició, 2015. ISBN 9780124058880. OCLC 959632184. 
• «28». A: Wiley. Continuous Univariate Distributions. 2. 2a edició, 1995. ISBN 9780471584940. 
• Duxbury Resource Center. Statistical Inference, 1990, p. 56. ISBN 9780534119584. 
• Jackman, S. Wiley. Bayesian Analysis for the Social Sciences, 2009, p. 507. DOI 10.1002/9780470686621. ISBN 9780470011546. 
• Bishop, C.M.. Springer. Pattern Recognition and Machine Learning, 2006. ISBN 9780387310732. 
• Griffin. Families of Frequency Distributions, 1972. ISBN 9780852641378. 
• «Robust Statistical Modeling Using the t Distribution». J. Am. Stat. Assoc., 84, 1989, p. 881–896. DOI: 10.1080/01621459.1989.10478852. JSTOR: 2290063.
• «Computationally efficient Markov chain simulation». A: CRC Press. Bayesian Data Analysis, 2014, p. 293. ISBN 9781439898208. 

Vegeu també

• Distribució t de Student
• Interval de confiança
• Distribució t no central

Enllaços externs

• The T-Test (anglès) Conjoint
• Student test (anglès) Encyclopedia of Mathematics