Analisi matematica

L’ analisi matematica hè un ramu di a matematica chì studieghja e pruprietà di e funzione à traversu e nuzione di limitu, cuntinuità, integrazione è derivazione. In parechji casi, e funzione studiate sò definite nantu à inseme di numeri reali o numeri cumplessi, è anu valori reali o cumplessi.

Dopu à i sviluppi impurtanti di a fine di u XVII sèculu in u calculus differenziale è integrale, l'analisi hè diventata un campu largu è centrale di a ricerca matematica. Hà numerose applicazione in e scienze è in l'ingegneria, ma dinù in a finanza, l'ecunumia è e scienze suciale, cumpresa a sociologia.

Frà e quistione studiate oghje ci sò l'equazione differenziale à derivate parziale, chì ponu discrive fenomeni fisichi cum'è u muvimentu di e pianete, ma chì cumpariscenu dinù in cuntesti puramente matematichi, cum'è a geometria. L'analisi funziunale studieghja i spazii di funzione, chì sò à spessu spazii vetturiali di dimensione infinita, cù strutture in più, cum'è i spazii di Banach è di Hilbert. In questu campu, l'algebra, l'analisi è a geometria si mischjanu naturalmente. Un antru grande ramu hè a dinamica, chì cerca à capisce l'evoluzione à longu andà di i sistemi dinamichi. A dinamica discreta tratta prucessi fatti di passi distinti, cum'è l'appiecazione ripetuta d'operazione algebriche; a dinamica cuntinua studieghja prucessi cuntinui, cum'è u muvimentu di e pianete.

Storia

L'analisi matematica hè nata in a seconda mità di u XVII sèculu, quandu Isaac Newton è Gottfried Leibniz anu introduttu, ognunu per contu soiu, e nuzione fundamentale di u calculu infinitesimale. À l'iniziu, l'analisi circava à raprisentà geumetricamente e funzione nant'à u pianu cartesianu, per risponde à quistione nantu à u calculu d'aree è e pruprietà geumetriche d'una curva. U sviluppu di l'analisi in u XVIII sèculu hè statu dinù incuraghjitu da a fisica è hà cuntribuitu à u sviluppu di a meccanica raziunale.

Da a fine di u XVIII seculu s'hè affermatu u cuncettu di limitu. A so interpretazione hè passata da l'intuizione basata nantu à divisione successive — un'idea chì si pò fà ricullà à u V seculu a.C. è à i paradossi di Zenone d'Elea — à metudi rigurosi per truvà u valore d'un limite. Questu hà trasfurmatu a disciplina: e nuzione è i teoremi sò stati rivisti senza appughjà si solu nantu à ghjustificazione geumetriche, ma basendu si nantu à i numeri è l'inseme. Cusì hè diventatu pussibule studià più à fondu e geometrie non euclidiane è i spazii di dimensione più grande ch'è trè.

Cuncetti

Spazii metrichi

A nuzione di spaziu metricu, introdutta in u 1906 da u matematicu francese Maurice René Fréchet è sviluppata pocu dopu da Felix Hausdorff, nasce da u studiu di e pruprietà astratte di una metrica. Stende à spazii più generali certe pruprietà di u spaziu euclidianu chì dipendenu solu da a distanza. Stu linguaghju geumetricu hè utile in numerosi prublemi d'analisi, ma dinù d'algebra è di teoria di i numeri.

Teoria di l'inseme

U cuncettu d'inseme hè unu di i fundamenti di a matematica è di a teoria di l'inseme. In altri campi, cumpresa l'analisi matematica, l'inseme hè spessu trattatu cum'è un cuncettu primitivu, senza una definizione furmale. Si pò discrive cum'è una cullezzione d'elementi.

A teoria di l'inseme è l'operazione chì si ponu fà trà inseme permettenu di definisce e funzione, chì sò trà l'oghjetti principali di l'analisi. Sò particularmente impurtante e funzione chì anu per duminiu è coduminiu dui inseme scelti frà quelli chì seguitanu:

$\mathbb {N}$ hè l'inseme di i numeri naturali;
$\mathbb {Z}$ hè l'inseme di i numeri interi;
$\mathbb {Q}$ hè l'inseme di i numeri raziunali;
$\mathbb {R}$ hè l'inseme di i numeri reali;
$\mathbb {C}$ hè l'inseme di i numeri cumplessi.

Per definisce pruprietà cum'è a cuntinuità è a derivabilità, ci vole à cunnosce e nuzione di basa di a topulugia, in particulare quella d'intornu, è u cuncettu di distanza in un spaziu metricu.

E funzione

Una funzione assucieghja elementi d'un inseme X à elementi d'un inseme Y

U cuncettu di funzione hè fundamentale per l'analisi matematica. Cù operazione cum'è quella di limitu, si definiscenu pruprietà impurtante, utili in a teoria è in l'appiecazione. Frà elle si trovanu:

E funzione elementare anu dinù un rollu impurtante. Frà elle ci sò:

In u XX sèculu, u studiu di i spazii di funzione hà cunnisciutu sviluppi impurtante. Sti spazii ponu esse visti cum'è spazii vetturiali topulogichi di dimensione infinita, studiati in particulare da l'analisi funziunale.

L'operazione di limiti

Limitu d'una funzione: dopu à un valore S, a funzione ferma in un intervallu di larghezza $2\varepsilon$ è tende à L à l'infinitu

U cuncettu di limitu hè à a basa di l'analisi. Hè statu definitu in modu rigurosu solu à u XIX sèculu, ancu s'ellu era statu capitu intuitivamente da matematichi cum'è Wallis, Euler, i Bernoulli, Newton è Leibniz, è forse dighjà da Archimede. In parolle simplici, u limitu d'una funzione $f$ quandu $x$ tende à $x_{0}$ hè un numeru à u quale i valori di a funzione s'avvicinanu sempre di più, senza ch'elli l'oghjinu necessariamente, quandu $x$ s'avvicina à $x_{0}$ . Per esempiu:

\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}=0.

Quandu $x$ cresce, ${\frac {1}{x}}$ s'avvicina sempre di più à zeru.

U limitu d'una funzione pò:

esse un numeru finitu, cum'è in l'esempiu precedente;
esse infinita, per esempiu $\lim _{x\to \infty }x^{2}=+\infty$ ;
ùn esiste, cum'è $\lim _{x\to +\infty }\sin(x)$ .

Serie

U limitu d'una successione permette di dà un significatu à a somma d'un numeru infinitu di termini. Per esempiu, si pò definisce l'espressione

e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\ldots

chì hè unu di i modi per discrive u numeru di Neperu $e$ .

Una somma infinita di termini hè chjamata serie è hè indicata di regula cù $\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}$ . S'è $a_{k}={\frac {1}{k!}}$ , u numeru di Neperu si pò scrive cusì:

e=\sum _{k=0}^{+\infty }a_{k}

o ancu

e=1+\sum _{k=1}^{+\infty }a_{k}.

Cum'è per i limiti, a somma d'una quantità infinita di termini pò esse finita, infinita o ùn esse definita. Hè u casu, per esempiu, di a serie di Grandi:

1-1+1-1+1-\ldots

Serie di Taylor

A serie di Taylor d'una funzione analitica permette di scrive quella funzione cum'è una serie di putenze. Per una funzione analitica $f(x)$ si hà:

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},

induve $n!$ hè u fattoriale di $n$ è $f^{(n)}(a)$ hè a derivata d'ordine $n$ di $f$ in u puntu $a$ . S'è $a=0$ , a serie hè chjamata serie di Maclaurin:

f(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.

Tagliendu a serie à un ordine $n$ , si ottene un polinomiu d'ordine $n$ chì apprussimeghja a funzione. Stu polinomiu hè chjamatu polinomiu di Taylor. Hè utile in l'analisi matematica è in e so appiecazione à a fisica è à l'ingegneria. E serie di Taylor sò fundamentale dinù in l'analisi cumplessa, induve e funzione olomorfe ponu esse caratterizate da a so pussibilità d'esse scritte lucalmente cum'è serie di Taylor. Ci sò dinù altri sviluppi in serie, cum'è a serie di Laurent.

Derivata

A derivata hà un rollu fundamentale in u calculu infinitesimale è in tutta l'analisi matematica. Definita cum'è limite di u quoziente incrementale, misura u modu in u quale cresce una funzione, è trova appiecazione in parechje scienze.

A derivata permette di definisce è studià i massimi è minimi è a cunvessità è a cuncavità. Hè dunque un strumentu fundamentale per u studiu di e funzione.

Cù e regula di derivazione, si pò calculà a derivata di parechje funzione definite cumminendu funzione elementare. U cuncettu si generalizeghja dinù à e funzione di parechje variabile cù a derivata parziale.

Integrale

L'integrale hè un antru strumentu fundamentale di u calculu infinitesimale. Serve soprattuttu à calculà aree è vulumi di figure curve, cum'è l'ellisse o a parte di u pianu cartesianu delimitata da u graficu d'una funzione.

Sicondu u teorema fundamentale di u calculus integrale, l'integrale hè, in essenza, l'operazione inversa di a derivata. Ma, à differenza di ciò chì accade per a derivazione, ùn esistenu algoritmi chì permettenu di calculà l'integrale di qualsiasi funzione custruita cù funzione elementare. Ci sò quantunque numerosi metudi d'integrazione per risolve parechji integrali simplici, spessu riuniti in tavule.

À parte si da u XIX sèculu, u cuncettu d'integrale hè statu ligatu sempre di più à quellu di misura. A definizione d'integrale hè assuciata à u prublema di misurà lunghezze, aree è vulumi di sottuinseme di a retta, di u pianu è di u spaziu. Frà e definizione più aduprate ci sò l'integrale di Riemann è l'integrale di Lebesgue.

Studiu di e funzione

U studiu d'una funzione cerca à discrive u so andamentu è u so graficu. Si pò determinà ne i massimi è i minimi, relativi o assuluti, l'asintoti orizuntali è verticali, i flessi, a cuncavità è l'area sottu à u graficu, aduprendu limiti, derivate è integrali.

Campi di studiu

L'analisi matematica include parechji campi:

Da vede dinù

Note