Logaritmo natural

	Instancia de tipo de función matemática; logaritmo; função elementar (pt)
	Subclase de polilogaritmo; logaritmo
	Medio usado número e

Logaritmo natural
	Instancia de tipo de función matemática; logaritmo; função elementar (pt)
	Subclase de polilogaritmo; logaritmo
	Medio usado número e
Características
	Inverso matemático función exponencial natural (composición de funcións)
	Fórmula ln⁡x=logex; ln⁡x=∑k=1∞zkk=z+z22+z33+⋯ ln⁡x (logaritmo natural); logax (logaritmo)
Freebase
Fontes e ligazóns
Freebase
Freebase	/m/05d2y
MathWorld	NaturalLogarithm
OpenAlex	C56017942
	Descrito pola fonte ISO 80000-2:2019
	Wikidata

Gráfica da función logaritmo natural. A función medra lentamente cara ao infinito positivo segundo $x$ aumenta, e vai lentamente cara ao infinito negativo cando $x$ aproxima a 0

O logaritmo natural ou logaritmo neperiano dun número é o seu logaritmo con base a constante matemática $e$ , que é un número irracional e transcendental aproximadamente igual a $2.718 281828459$ . O logaritmo natural de $x$ escríbese xeralmente como $ln x$ , $log e x$ , ou ás veces, se a base $e$ está implícita, simplemente $log x$ . ^[1] Ás veces engádense parénteses para claridade, dando $ln(x)$ , $log e (x)$ ou $log(x)$ . Isto faise especialmente cando o argumento do logaritmo non é un só símbolo, para evitar ambigüidades.

O logaritmo natural de $x$ é a potencia á que habería que elevar $e$ para igualar $x$ . Por exemplo, $ln 7.5$ é $2.0149...$ , porque $e 2.0149... = 7.5$ . O logaritmo natural de $e$ , $ln e$ , é $1$ , porque $e 1 = e$ , mentres que o logaritmo natural de $1$ é $0$ , xa que $e 0 = 1$ .

O logaritmo natural pódese definir para calquera número real positivo $a$ como a área baixo a curva $y = 1/ x$ de $1$ a $a$ ^[2] (sendo a área negativa cando $0 < a < 1$ ). A definición do logaritmo natural pódese ampliar daquela para dar valores de logaritmo para números negativos e para todos os números complexos distintos de cero, aínda que isto leva a unha función multivalor: ver logaritmo complexo para máis información.

A función logaritmo natural, se se considera como unha función con valores reais dunha variable real positiva, é a función inversa da función exponencial, dando lugar ás identidades: $\begin{matrix} e^{\ln x} & = x if x \in ℝ_{+} \\ \ln e^{x} & = x if x \in ℝ \end{matrix}$

Como todos os logaritmos, o logaritmo natural mapea a multiplicación de números positivos en suma: ^[3] $\ln (x \cdot y) = \ln x + \ln y .$

Pódense definir logaritmos para calquera base positiva que non sexa 1, non só $e$ . No entanto, os logaritmos noutras bases difiren só por un multiplicador constante do logaritmo natural, e pódense definir en termos deste último, $\log_{b} x = \ln x / \ln b = \ln x \cdot \log_{b} e$ .

Os logaritmos son útiles para resolver ecuacións nas que a incógnita aparece como o expoñente dalgunha outra cantidade. Por exemplo, os logaritmos utilízanse para resolver a vida media, a constante de desintegración ou o tempo descoñecido en problemas de desintegración exponencial. Son importantes en moitas ramas das matemáticas e das disciplinas científicas, e úsanse para resolver problemas que impliquen xuro composto.

Definicións

O logaritmo natural pódese definir de varias maneiras equivalentes.

Inversa de exponencial

A definición máis xeral é como a función inversa de $e^{x}$ , para que $e^{\ln (x)} = x$ . Para os números complexos, $e^{z}$ non é invertíbel, polo tanto $\ln (z)$ é unha función multivalor. Para facer $\ln (z)$ unha función propia de saída única, polo tanto, necesitamos restrinxila a unha rama principal particular, a miúdo denotada por $Ln (z)$ .

Para os números complexos o logaritmo natural pode ter unha continuación analítica como $\ln (z) = l n | z | + i \arg (z)$ onde $| z |$ é o módulo do complexo e $\arg (z)$ é o argumento do complexo, por exemplo $\ln (3 + 4 i) = 1.6094 + 0.9273 i$ .

Definición como integral

$ln a$ como a área da rexión sombreada baixo a curva $f (x) = 1/ x$ de $1$ a $a$ . Se $a$ é menor que $1$ , a área considerada é negativa.

A área baixo a hipérbole cumpre a regra do logaritmo. Aquí $A (s, t)$ denota a área baixo a hipérbole entre $s$ e $t$ .

O logaritmo natural dun número real positivo $a$ pódese definir como a área baixo a gráfica da hipérbole coa ecuación $y = 1/ x$ entre $x = 1$ e $x = a$ . Esta é a integral ^[2] $\ln a = \int_{1}^{a} \frac{1}{x} d x .$ Se $a$ está dentro do intervalo $(0, 1)$ , entón a rexión ten área negativa e o logaritmo é negativo.

O logaritmo natural tamén ten unha representación integral impropia, que se pode derivar co teorema de Fubini do seguinte xeito: $\ln (x) = \int_{1}^{x} \frac{1}{u} d u = \int_{1}^{x} \int_{0}^{\infty} e^{- t u} d t d u = \int_{0}^{\infty} \int_{1}^{x} e^{- t u} d u d t = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{- t} - e^{- t x}}{t} d t$

Propiedades

O logaritmo natural ten as seguintes propiedades matemáticas:

$\ln 1 = 0$
$\ln e = 1$
$\ln (x y) = \ln x + \ln y para x > 0 e y > 0$
$\ln (x / y) = \ln x - \ln y para x > 0 e y > 0$
$\ln (x^{y}) = y \ln x para x > 0$
$\ln (\sqrt[y]{x}) = (\ln x) / y para x > 0 e y \neq 0$
$\ln x < \ln y para 0 < x < y$
$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$
$lim_{α \to 0} \frac{x^{α} - 1}{α} = \ln x para x > 0$
$\frac{x - 1}{x} \leq \ln x \leq x - 1 para x > 0$
$\ln (1 + x^{α}) \leq α x para x \geq 0 e α \geq 1$

Derivada

A derivada do logaritmo natural como función con valores reais sobre os reais positivos vén dada por ^[2] $\frac{d}{d x} \ln x = \frac{1}{x} .$

A maiores temos: $\frac{d}{d x} \ln a x = \frac{d}{d x} (\ln a + \ln x) = \frac{d}{d x} \ln a + \frac{d}{d x} \ln x = \frac{1}{x} .$

polo tanto, a diferenza da súa función inversa $e^{a x}$ , unha constante na función logaritmo non altera o diferencial.

Serie

Os polinomios de Taylor para $ln(1 + x)$ só proporcionan aproximacións precisas no intervalo $-1 < x \leq 1$ . Máis aló dalgún $x > 1$ , os polinomios de Taylor de grao superior son aproximacións cada vez *peores*.

Como o logaritmo natural non está definido en 0, $\ln (x)$ en si non ten unha serie de Maclaurin, a diferenza de moitas outras funcións elementais. Mais temos expansións de Taylor arredor doutros puntos. Por exemplo, se $| x - 1 | \leq 1 and x \neq 0,$ entón ^[4] $\begin{matrix} \ln x & = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t = \int_{0}^{x - 1} \frac{1}{1 + u} d u \\ = \int_{0}^{x - 1} (1 - u + u^{2} - u^{3} + \dots) d u \\ = (x - 1) - \frac{(x - 1)^{2}}{2} + \frac{(x - 1)^{3}}{3} - \frac{(x - 1)^{4}}{4} + \dots \\ = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1} (x - 1)^{k}}{k} . \end{matrix}$

Esta é a serie Taylor para $\ln x$ arredor de 1. Un cambio de variábeis produce a serie de Mercator: $\ln (1 + x) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k} x^{k} = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots,$ válido para $| x | \leq 1$ e $x \neq - 1.$

Un caso especial útil para números enteiros positivos $n$ , tomando $x = \frac{1}{n}$ , é: $\ln (\frac{n + 1}{n}) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{k - 1}}{k n^{k}} = \frac{1}{n} - \frac{1}{2 n^{2}} + \frac{1}{3 n^{3}} - \frac{1}{4 n^{4}} + \dots$

O logaritmo natural tamén se pode expresar como un produto infinito:^[5] $\ln (x) = (x - 1) \prod_{k = 1}^{\infty} (\frac{2}{1 + \sqrt[2^{k}]{x}})$

Dous exemplos poden ser: $\ln (2) = (\frac{2}{1 + \sqrt{2}}) (\frac{2}{1 + \sqrt[4]{2}}) (\frac{2}{1 + \sqrt[8]{2}}) (\frac{2}{1 + \sqrt[16]{2}}) ...$

O logaritmo natural na integración

O logaritmo natural permite a integración sinxela de funcións da forma $g (x) = \frac{f^{'} (x)}{f (x)}$ ; unha antiderivada de $g (x)$ vén dada por $\ln (| f (x) |)$ . Este solución é debida á regra da cadea xunto coa derivada da función elemental $\ln | x |$ : $\frac{d}{d x} \ln | x | = \frac{1}{x}, x \neq 0.$

Noutras palabras, ao integrar sobre un intervalo da liña real que non inclúe $x = 0$ temos $\int \frac{1}{x} d x = \ln | x | + C$ onde $C$ é unha constante arbitraria de integración.^[6]

Por tanto, cando a integral está definida sobre un intervalo onde $f (x) \neq 0$ temos

\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x = \ln | f (x) | + C .

Por exemplo, considere a integral de $\tan (x)$ nun intervalo que non inclúe puntos onde $\tan (x)$ é infinito: $\int \tan x d x = \int \frac{\sin x}{\cos x} d x = - \int \frac{\frac{d}{d x} \cos x}{\cos x} d x = - \ln | \cos x | + C = \ln | \sec x | + C .$

O logaritmo natural pódese integrar mediante integración por partes: $\int \ln x d x = x \ln x - x + C .$

Sexa: $u = \ln x \Rightarrow d u = \frac{d x}{x}$ $d v = d x \Rightarrow v = x$ daquela: $\begin{matrix} \int \ln x d x & = x \ln x - \int \frac{x}{x} d x \\ = x \ln x - \int 1 d x \\ = x \ln x - x + C \end{matrix}$

Logaritmo natural de 10

O logaritmo natural de 10, aproximadamente igual a $2.302 58509$ , xoga un papel importante, por exemplo, no cálculo de logaritmos naturais de números representados en notación científica, como unha mantisa multiplicada por unha potencia de 10: $\ln (a \cdot 1 0^{n}) = \ln a + n \ln 10.$

Isto significa que se poden calcular eficazmente os logaritmos de números con magnitude moi grande ou moi pequena usando os logaritmos dun conxunto relativamente pequeno de decimais no intervalo $[1, 10)$ .

Fraccións continuas

Aínda que non hai fraccións continuas simples dispoñíbeis, existen varias fraccións continuas xeneralizadas, incluíndo: $\begin{matrix} \ln (1 + x) & = \frac{x^{1}}{1} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{5}}{5} - \dots \\ = \frac{x}{1 - 0 x + \frac{1^{2} x}{2 - 1 x + \frac{2^{2} x}{3 - 2 x + \frac{3^{2} x}{4 - 3 x + \frac{4^{2} x}{5 - 4 x + ⋱}}}}} \end{matrix}$ $\begin{matrix} \ln (1 + \frac{x}{y}) & = \frac{x}{y + \frac{1 x}{2 + \frac{1 x}{3 y + \frac{2 x}{2 + \frac{2 x}{5 y + \frac{3 x}{2 + ⋱}}}}}} \\ = \frac{2 x}{2 y + x - \frac{(1 x)^{2}}{3 (2 y + x) - \frac{(2 x)^{2}}{5 (2 y + x) - \frac{(3 x)^{2}}{7 (2 y + x) - ⋱}}}} \end{matrix}$

Estas fraccións continuas, especialmente a última, converxen rapidamente para valores próximos a 1. Porén, os logaritmos naturais de números moito maiores pódense calcular facilmente, sumando repetidamente os de números máis pequenos, cunha converxencia igualmente rápida.

Logaritmos complexos

Artigo principal: Logaritmo complexo.

A función exponencial pódese estender a unha función que dá un número complexo como $e z$ para calquera número complexo arbitrario $z$ ; simplemente úsase a serie infinita con $x$ =z complexo. Esta función exponencial pódese inverter para formar un logaritmo complexo que presenta a maioría das propiedades do logaritmo ordinario. Hai dúas dificultades implicadas:

ningún $x$ ten $e x = 0$ ;
resulta que $e 2 πi = 1 = e 0$ e dado que a propiedade multiplicativa aínda funciona para a función exponencial complexa, $e z = e z +2 kiπ$ , temos o mesmo valor para múltiples expoñentes, calquera complexo $z$ cos múltiples enteiros $k$ .

Polo tanto temos dúas consecuencias: o logaritmo non se pode definir para todo o plano complexo, e por outra parte aínda así é multivaluada, isto é, calquera logaritmo complexo pode mudarse a un logaritmo "equivalente" engadindo calquera múltiplo enteiro de $2 iπ$ . O logaritmo complexo só se pode valorar nun plano de corte, que normalmente corresponde con $k = 0$ . Por exemplo, $\ln (i) = \frac{π i}{2} .$

Gráficos da función de logaritmo natural no plano complexo (rama principal)
$z = Re(ln(x + yi))$
$z = | (Im(ln(x + yi))) |$
$z = | (ln(x + yi)) |$
Superposición das tres gráficas anteriores

Notas

↑ G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th Ed., Oxford 1975, footnote to paragraph 1.7: "log x is, of course, the 'Naperian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest".
1 2 3 "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com. Weisstein, Eric W. "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com. Consultado o 2020-08-29.
↑ "logaritmo". Encyclopedia Britannica.
↑ ""Logarithmic Expansions" at Math2.org".
↑ RUFFA, Anthony. "A PROCEDURE FOR GENERATING INFINITE SERIES IDENTITIES" (PDF). International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. Consultado o 27 February 2022. (Page 3654, equation 2.6)
↑ Para unha porba detallada pódese ver por exemplo: George B. Thomas, Jr and Ross L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 5th edition, Addison-Wesley 1979, Section 6-5 pages 305-306.

Véxase tamén

Bibliografía

Beebe, Nelson H. F. (2017-08-22). "Chapter 10.4. Logarithm near one". The Mathematical-Function Computation Handbook - Programming Using the MathCW Portable Software Library (1 ed.). Salt Lake City, UT, USA: Springer International Publishing AG. pp. 290–292. ISBN 978-3-319-64109-6. LCCN 2017947446. doi:10.1007/978-3-319-64110-2.

Outros artigos

Ligazóns externas

Logaritmo natural en MathWorld.

[1] G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4th Ed., Oxford 1975, footnote to paragraph 1.7: "log x is, of course, the 'Naperian' logarithm of x, to base e. 'Common' logarithms have no mathematical interest".

[:1-2] 1 2 3 "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com. Weisstein, Eric W. "Natural Logarithm". mathworld.wolfram.com. Consultado o 2020-08-29.

[:2-3] "logaritmo". Encyclopedia Britannica.

[4] ""Logarithmic Expansions" at Math2.org".

[5] RUFFA, Anthony. "A PROCEDURE FOR GENERATING INFINITE SERIES IDENTITIES" (PDF). International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. Consultado o 27 February 2022. (Page 3654, equation 2.6)

[6] Para unha porba detallada pódese ver por exemplo: George B. Thomas, Jr and Ross L. Finney, Calculus and Analytic Geometry, 5th edition, Addison-Wesley 1979, Section 6-5 pages 305-306.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]