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Pi

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Pi

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背景

  • Pi 是表示数学常数 的符号，可用 ∖[Pi] 输入. Pi 被定义为圆的周长和直径的比值，数值 . Pi 广泛出现在许多数学计算中，包括三角学表达式、特殊函数值、求和、求积、积分以及其它数学和科学领域的诸多公式.
  • 当 Pi 作为符号时，它被当成精确值参与计算. 尽管许多含有 Pi 的表达式（例如 Cos[Pi/10]）会自动展开成由简单函数组成的项，但展开及化简一些更复杂的含有 Pi 的表达式（例如 Cos[Pi/15]）还是需要用到如 FunctionExpand 和 FullSimplify 这样的函数.
  • Pi 既是无理数也是超越数，这意味着它既不能被表示成整数的比值也不是任何整数系数多项式的根. 虽然现在还不知道 Pi 是否是某个进位制下的正规数（这意味着它在 进制下的各位数字均匀分布），但它的各位数字分布得非常均匀.
  • 用 N 可以根据楚德诺夫斯基公式算出 Pi 的任意精度的数值. 事实上在一台现代台式电脑上计算 Pi 的前一百万位数字耗时都不到一秒. RealDigits 可用于返回 Pi 的各位数字列表而 ContinuedFraction 则可得到其连分数展开的各项.
  • Wolfram 语言中许多与角度相关的函数都以弧度值作为变量并返回弧度值的结果. 因此实际上等于 Pi/180 的符号 Degree 可在需要使用角度值的时候作为乘数（例如 Cos[30 Degree]）.

范例

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基本范例  (3)

Pi 可以用 p 来输入：

Wolfram Language code: Pi

计算到任意精度：

Wolfram Language code: N[Pi, 50]

执行一个精确数值计算：

Wolfram Language code: Round[Pi ^ 100]

范围  (1)

以 10 为底的 的第一百万位数字：

Wolfram Language code: First[RealDigits[Pi, 10, 1, -10 ^ 6]]

应用  (5)

求一个圆的面积：

Wolfram Language code: Integrate[Boole[x ^ 2 + y ^ 2 ≤ r ^ 2], {x, -Infinity, Infinity}, {y, -Infinity, Infinity}, Assumptions -> r > 0]

以 10 为底的 的前 20 个数字：

Wolfram Language code: RealDigits[Pi, 10, 20]

Pi 的连分数的前 20 项：

Wolfram Language code: ContinuedFraction[Pi, 20]

具有以弧度为单位的自变量的三角函数：

Wolfram Language code: Sin[Pi / 4]

许多数学函数和运算给出关于 π 的结果：

Wolfram Language code: Zeta[2]
Wolfram Language code: Integrate[Exp[-x ^ 2], {x, -Infinity, Infinity}]

属性和关系  (2)

自动使用各种符号关联：

Wolfram Language code: Pi > 3
Wolfram Language code: Pi∈Algebraics

Pi 在微分中视为常量：

Wolfram Language code: Dt[Pi, x]

巧妙范例  (2)

对于 的二进制数字的随机行走：

Wolfram Language code: ListLinePlot[Accumulate[(-1) ^ First[RealDigits[Pi, 2, 200]]]]

连分数的项：

Wolfram Language code: ListLinePlot[ContinuedFraction[Pi, 400], PlotRange -> All]
Wolfram Research (1988)，Pi，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Pi.html （更新于 1996 年）.

文本

Wolfram Research (1988)，Pi，Wolfram 语言函数，https://reference.wolfram.com/language/ref/Pi.html （更新于 1996 年）.

CMS

Wolfram 语言. 1988. "Pi." Wolfram 语言与系统参考资料中心. Wolfram Research. 最新版本 1996. https://reference.wolfram.com/language/ref/Pi.html.

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Wolfram 语言. (1988). Pi. Wolfram 语言与系统参考资料中心. 追溯自 https://reference.wolfram.com/language/ref/Pi.html 年

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