全稱量化

全稱量化，粵拼：cyun4 cing1 loeng6 faa3，係邏輯同數學上時常用嘅量化概念一種，表達緊喺某個論域裡便，啲元素冚唪唥都滿足某特定性質或者條件：例如所有嘅正方形，都屬於四邊形；又或者係所有嘅正雙數，都屬於自然數等。

喺數學同邏輯學入面，全稱量化通常會用符號 $\forall$ 嚟表示。呢個符號望落似倒轉咗嘅大階 A 。

基本定義

内文：量化 (數理邏輯)

思考全稱量化嘅定義。抽象化啲講，假定 P(x) 係某個包含變數 x 嘅謂詞，而 x 嘅取值範圍係某集合 D，即係論域。噉全稱量化嘅命題就可以寫成：

$\forall x\in D,P(x)$

呢段說話用粵文講，即係：對於集合 D 入便所有元素 x，P(x) 都成立。

例子：

$\forall x\in \mathbb {R} ,x^{2}\geq 0$

呢句嘢係話，對於所有實數 $x$ 嚟講，$x^{2}$ 都實會大過或等如 0。換句話講，無論 $x$ 係正數、負數定係 0，$x^{2}$ 都冇可能係負數。因為噉，上述呢句用咗全稱量化嘅命題係成立嘅。

證明方法

睇埋：直接證明、反例同數學歸納法

重要諗頭：

• 齋靠舉例，通常都無法證明全稱量化嘅命題係真。
• 但只要搵到一個反例，就證明到全稱量化嘅命題係假。

要證明用咗全稱量化嘅命題，通常都唔可以淨係靠舉例子。因為條命題講緊所有嘅元素都要滿足個條件，所以證明者要搵方法 show 畀人睇，論域入便任何一個元素，都可以令命題成立。

舉例說明，假設有人想證明以下命題：

$\forall n\in \mathbb {N} ,(n^{2}+n+41)\in \mathbb {P}$

呢句說話意思係：對於所有自然數 n，$n^{2}+n+41$ 都會係質數。首先，佢可能會嘗試搵幾個例子，由 0 開始試幾個數：

$0^{2}+0+41=41$，得出質數；

$1^{2}+1+41=43$，得出質數；

$2^{2}+2+41=47$，得出質數；

$3^{2}+3+41=53$，得出質數。

不過就算佢一路係噉試落去，都冇可能將無限咁多個自然數冚唪唥試晒。因此，佢未能證明條命題對所有嘅自然數都成立，而舉例子嘅方法，喺呢個情況下頂攏只能夠用嚟協助思考。但因為全稱量化命題講緊所有元素，只要搵到一個反例，成條命題就可以證明係假。事實上，當 $n=41$ 嗰陣：

$41^{2}+41+41=41(41+1+1)=41\cdot 43$

呢個數可以畀 41 整除，所以唔係質數。雖然前面好多例子都成立，但原本嗰條全稱量化命題係錯嘅。事實係，如果想證明某條全稱量化命題係假嘅，就容易好多，唔洗檢查晒所有元素。只要搵到一個反例咁多就夠。舉例說明，以下呢條命題：

$\forall x\in \mathbb {R} ,x^{2}>0$

係錯嘅，因為當 $x=0$ 嗰陣，$x^{2}=0$，並唔係大過 0。呢個 $x=0$ 就係反例。

有關帶有全稱量化嘅命題要點樣證明佢係真，可以睇下直接證明同數學歸納法等嘅概念。

哲學使用

全稱量化（Universal Quantification，符號：∀）係現代邏輯同分析哲學入面一個重要嘅概念，就係表示「對所有嘅對象，都成立某個命題」。例如「所有人都會死」就可以寫成 ∀x (Human(x) → Mortal(x))，意思係無論 x 係邊個，只要佢係人，就一定會死。相比起日常語言，呢種形式化寫法可以將意思表達得更加清楚，減少誤解 同 出現多個意思。

全稱量化，可以令自然語言變得更加精確。例如一句 "Every student read a book"，可以理解成「每個學生都讀過一本書（未必同一本）」可以寫成 ∀x(Student(x) → ∃y(Book(y) ∧ Read(x,y))) 或者「所有學生都讀過同一本書」，可以寫成 ∃y(Book(y) ∧ ∀x(Student(x) → Read(x,y)))。喺日常對話可能唔容易分辨，但用量詞邏輯就可以清楚表示兩種唔同意思。全稱量化去分析句子結構同推理方式。

全稱量化亦都係邏輯推理嘅基礎。例如已知「所有曱甴都有腳」可以寫成 ∀x(曱甴(x) → 腳(x))，再知道「小強係一隻曱甴」寫成 曱甴(小強)，我哋就可以合理推出「小強有腳」寫成 腳(小強)。呢種推理叫做全稱例化（Universal Instantiation），即係由一個適用於所有對象嘅命題，推論到某一個特定個案。哲學家利用呢套方法去檢查一個論證係咪有效，而唔係單靠直覺判斷。

不過，哲學真正關心嘅問題唔止係個符號，而係「所有」究竟包括邊啲對象。呢個就涉及論域（domain of discourse）嘅概念。例如「所有人都會死」入面嘅「所有」，只係指所有人，而唔係包括石頭、動物或者數字。如果唔先界定討論範圍，同一句全稱命題就可能有完全唔同嘅意思。因此，論域係理解全稱量化時一個重要概念。

另外，全稱量化仲同存在論有密切關係。分析哲學家尤其係 Willard Van Orman Quine 認為，一個理論究竟承認啲乜嘢存在，可以睇佢量化咗啲乜嘢對象 。另一方面，全稱命題亦都同歸納問題有關。例如我哋見過一千隻白天鵝，都唔代表可以證明「所有天鵝都係白色」，因為只要發現一隻黑天鵝，呢個全稱命題就會推翻。呢個亦都解釋咗點解科學理論通常都係可以反駁，而唔係可以完全證明。

總括而言，全稱量化唔只係一個數學或者邏輯符號，而係現代哲學分析語言、推理同存在概念嘅重要工具。佢幫助哲學家將自然語言形式化、分析論證係咪有效、界定討論範圍，亦可以更深入思考「所有」、「每一個」同「普遍規律」究竟代表咩意思。

睇埋

• 存在量化
• 數學證明
• 反例
• 歸納
• 語義

文獻

• Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.Hinman, P. (2005). Fundamentals of Mathematical Logic. A K Peters. ISBN 1-56881-262-0.
• Franklin, J. and Daoud, A. (2011). Proof in Mathematics: An Introduction. Kew Books. ISBN 978-0-646-54509-7.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: 作者名單 (link) (ch. 2)