Numrat binar

Sistemi numerik me bazë 2 është një shënim pozicional me bazë 2. Çdo shifër quhet bit, ose shifër binare sepse zbatohet drejtpërdrejt në qarqet elektronike dixhitale me porta logjike. Sistemi binar përdoret nga pothuajse të gjithë kompjuterët dhe pajisjet moderne që bazohen në kompjuter. Ai është sistemi i preferuar, në vend të mënyrave të tjera njerëzore të komunikimit, sepse e ka gjuhën të thjeshtë dhe i reziston mirë zhurmës në zbatimin fizik. [1]

Sistemi modern i numrave binar u studiua për herë të parë në Evropë në shekujt XV, XVI dhe XVII nga Thomas Harriot dhe dekada më vonë nga Gottfried Leibniz, i cili njihet si shpikësi. ^[1] Megjithatë, sistemet që lidhen me numrat binarë janë shfaqur më herët në kultura të shumta, duke përfshirë Egjiptin e Lashtë, Kinën, Evropën dhe Indinë, p.sh. në lidhje me fallin duke përdorur short binare . ^[2]

Egjipti

Vlerat aritmetike që mendohet se janë përfaqësuar nga pjesë të Syrit të Horusit

Skribët e Egjiptit të lashtë përdornin dy sisteme të ndryshme për paraqitjen e thyesave: thyesat egjiptiane (të cilat nuk kanë lidhje me sistemin binar të numrave) dhe thyesat e Syrit të Horusit. Këto të fundit e morën këtë emërtim sepse disa historianë të matematikës besonin se simbolet e përdorura në këtë sistem mund të vendoseshin në mënyrë të tillë që të formonin syrin e Horusit, megjithëse ky interpretim është kundërshtuar. [1]

Thyesat e Syrit të Horusit përbëjnë një sistem binar për paraqitjen e sasive thyesore të drithërave, lëngjeve ose njësive të tjera matëse. Në këtë sistem, një pjesë e një hekati paraqitet si shumë e thyesave binare: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 dhe 1/64. Format e hershme të këtij sistemi gjenden në dokumentet e Dinastisë së Pestë të Egjiptit, rreth vitit 2400 para Krishtit, ndërsa forma e tij e plotë hieroglifike daton nga Dinastia e Nëntëmbëdhjetë e Egjiptit, rreth vitit 1200 para Krishtit.

Metoda e përdorur për shumëzimin në Egjiptin e lashtë lidhet gjithashtu ngushtë me numrat binarë. Në këtë metodë, shumëzimi i një numri me një tjetër kryhet përmes një vargu hapash, gjatë të cilëve një vlerë (fillimisht numri i parë) ose dyfishohet, ose i shtohet përsëri vetvetes. Rendi i kryerjes së këtyre hapave përcaktohet nga paraqitja binare e numrit të dytë. Kjo metodë mund të shihet në përdorim, për shembull, në Papirusin Matematikor të Rhindit, i cili daton rreth vitit 1650 para Krishtit. [1]

Kinë

I Ching daton që nga shekulli i 9-të para Krishtit në Kinë. ^[3] Notacioni binar në I Ching përdoret për të interpretuar teknikën e saj kuaternare të parashikimit të së ardhmes . ^[4]

Bazohet në dualitetin taoist të yin dhe yang. [1] Tetë trigramet (Bagua) dhe një grup prej 64 heksagramësh (gjashtëdhjetë e katër gua), të cilët ngjajnë me numrat binarë trebitësh dhe gjashtëbitësh, ishin në përdorim të paktën që nga dinastia Zhou në Kinën e lashtë. [2]

Studiuesi i dinastisë Song, Shao Yong (1011–1077), i riorganizoi heksagramet në një format që ngjan me numrat binarë modernë, megjithëse nuk kishte për qëllim që ky renditje të përdorej në matematikë. [1] Duke marrë bitin me peshën më të vogël si pikënisje në paraqitjen katrore të heksagrameve të Shao Yong-ut [2] dhe duke i lexuar ato përgjatë rreshtave, nga poshtë djathtas drejt lart majtas, ku vijat e plota përfaqësojnë 0 dhe vijat e ndërprera 1, ose nga lart majtas drejt poshtë djathtas, ku vijat e plota përfaqësojnë 1 dhe vijat e ndërprera 0, heksagramet mund të interpretohen si një sekuencë nga 0 deri në 63. [3

Antikiteti klasik

Etruskët e ndanë skajin e jashtëm të mëlçisë së fallxhorit në gjashtëmbëdhjetë pjesë, secila prej të cilave ishte e gdhendur me emrin e një hyjnie dhe me rajonin përkatës të saj në qiell. Çdo pjesë e mëlçisë jepte një lexim binar, të cilat më pas kombinoheshin për të formuar një rezultat përfundimtar binar, i përdorur për të parashikuar të ardhmen. [1

Parashikimi i së ardhmes në orakullin e Dodonës, në Greqinë e lashtë, bëhej përmes hedhjes së shortit, duke përdorur enë të veçanta, pllaka me pyetje dhe fasule të shënuara me shkronjat «po» dhe «jo». Rezultatet më pas kombinoheshin për të formuar një profeci përfundimtare. [1

India

Kombinime metrike të gjeneruara nëpërmjet *Prastāra* për gjatësinë $n$ ^[5]
Gjatësia e fjalës ( $n$ personazhe)	Metra gjithsej ( $2^{n}$ )	Sekuencë kombinatorike (rendi Prasatāra )
1	2	GL
2	4	GG LG GL LL
3	8	GGG LGG GLG LLG GGL LGL GLL LLL

Studiuesi indian Pingala (rreth shekullit II para erës sonë) zhvilloi një sistem binar për të përshkruar prozodinë. [1] [2] Ai i paraqiti vargjet metrike përmes rrokjeve të shkurtra dhe të gjata, ku këto të fundit kanë gjatësi sa dy rrokje të shkurtra. [3] Këto njiheshin si rrokje laghu (të lehta) dhe guru (të rënda).

Klasiku hindu i Pingalës me titull Chandaḥśāstra (8.23) përshkruan formimin e një matrice, në mënyrë që çdo metri t’i jepet një vlerë unike. "Chandaḥśāstra" përkthehet fjalë për fjalë si shkenca e metrave në sanskritisht. Paraqitjet binare në sistemin e Pingalës rriten drejt djathtas e jo drejt majtas, siç rriten te numrat binarë të shenimit modern pozicional . ^[6] Në sistemin e Pingalës, numrat fillojnë nga numri një e jo nga zero. Katër rrokjet e shkurtra "0000" janë modeli i parë dhe i përgjigjen vlerës një. Vlera numerike merret duke i shtuar një në shumën e vlerave të vendit .

Afrika Perëndimore

Ifá është një sistem falli në Afrikën Perëndimore, i popullarizuar në mesin e fisit Yoruba të Perandorisë së Vjetër Oyo . Ngjashëm me I Ching, por ka deri në 256 shenja binare, ^[7] ndryshe nga I Ching që ka 64. Numri del nga ngritja në katror e 16-ës, që përputhet edhe me të gjitha mundësitë totale në një sekuencë 8-bitëshe. Në parathënien Ifá, kjo pasqyron rezultatet e mundshme të quajtura Odú . Këto Odú përcaktohen duke përdorur një zinxhir Ọpẹlẹ, i cili ka 8 fara. Çdo farë mund të ulet bie në njërën nga dy pozicionet (e hapur ose e mbyllur), dhe kështu krijohen të gjitha kombinimet e mundshme. Ifá e ka origjinën në Afrikën Perëndimore të shekullit të 15-të midis popullit Joruba . Në vitin 2008, UNESCO e shtoi Ifá-n në listën e saj të " Kryeveprave të Trashëgimisë Gojore dhe Jomateriale të Njerëzimit ". ^[7] ^[8]

Banorët e ishullit Mangareva në Polinezinë Franceze përdornin një sistem të përzier binar- dhjetor para vitit 1450. ^[9] Daullet me çarje, që nxjerrin tone binare, përdoren për të koduar mesazhe në të gjithë Afrikën dhe Azinë. ^[10] Grupe kombinimesh binare, të ngjashme me I Ching, janë përdorur gjithashtu në sistemet tradicionale afrikane të parathënies, të tilla si Ifá ndër të tjera, si dhe në gjeomantinë mesjetare perëndimore. Shumica e gjuhëve vendase australiane përdorin një sistem me bazë 2. ^[11]

Paraardhësit perëndimorë të Leibniz

Në vitin 1605, Francis Bacon diskutoi një sistem ku shkronjat e alfabetit mund të reduktoheshin në rradhë shifrash binare, që pastaj mund të fshiheshin si ndryshime pothuajse të dukshme në font në çdo tekst të rastësishëm. ^[12] Me rëndësi për teorinë e përgjithshme të kodimit binar, ai shtoi se kjo metodë mund të përdoret me çdo objekt: "me kusht që këto objekte të jenë të afta të bëjnë vetëm një ndryshim të dyfishtë; si nga Kambanat, nga Trombët, nga Dritat dhe Pishtarët, nga raporti i Musketave dhe çdo instrument i natyrës së ngjashme". ^[12]Në vitin 1617, John Napier përshkroi një sistem që e quajti aritmetikë vendndodhjeje, për të kryer llogaritje binare, me ane te nje paraqitje jopozicionale me anë të shkronjave . Thomas Harriot hetoi disa sisteme numërimi pozicional, përfshirë sistemin binar, por nuk i publikoi rezultatet e tij; ato u gjetën më vonë në mesin e shkrimeve të tij. ^[13] Ndoshta botimi i parë i këtij sistemi në Evropë ishte ai i Juan Caramuel y Lobkowitz, në vitin 1700. ^[14]

Lajbnici

Leibniz shkroi mbi njëqind dorëshkrime në sistemin binar, shumica e të cilave mbetën të pabotuara. ^[15] Përpara veprës së tij të parë të kushtuar këtij sistemi në vitin 1679, shumë dorëshkrime paraqesin përpjekje të hershme për të hulumtuar konceptet binare, duke përfshirë tabelat e numrave dhe llogaritjet themelore, shpesh të shkruara anash faqeve të veprave që nuk kishin lidhje me matematikën. ^[15]

Në veprën e tij të parë të njohur për sistemin binar, "Për progresionin binar", në vitin 1679, Leibniz paraqiti shndërrimin ndërmjet sistemit dhjetor dhe atij binar, së bashku me algoritmet për kryerjen e veprimeve themelore aritmetike si mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi duke përdorur numra binarë. Ai zhvilloi gjithashtu një formë të algjebrës binare për llogaritjen e katrorit të një numri gjashtëshifror dhe për nxjerrjen e rrënjës katrore. ^[15]

Vepra e tij më e njohur shfaqet në artikullin e tij Explication de l'Arithmétique Binaire (botuar në vitin 1703). Titulli i plotë i artikullit të Leibniz është përkthyer në anglisht si "Shpjegimi i Aritmetikës Binare, e cila përdor vetëm shenjat 1 dhe 0, me disa vërejtje për dobinë e saj dhe për dritën që hedh mbi figurat e lashta kineze të Fu Xi " . Sistemi i Leibniz përdor 0 dhe 1, ashtu si sistemi modern i numrave binar. Një shembull i sistemit numerik binarë të Leibniz është ky që vijon: ^[16]

0 0 0 1 vlerë numerike 2 ⁰

0 0 1 0 vlerë numerike 2 ¹

0 1 0 0 vlerë numerike 2 ²

1 0 0 0 vlerë numerike 2 ³

Gjatë shkëmbimit të letrave me priftin jezuit Joachim Bouvet në vitin 1700, i cili ishte bërë njohës i shquar i I Ching kur ishte misionar në Kinë, Leibniz në vitin 1700 ia shpjegoi sistemin e tij të shënimit binar, kurse Bouvet, në letrat e vitit 1701, tregoi se I Ching ishte një shpikje e pavarur dhe paralele e sistemit të shënimit binar. Leibniz dhe Bouvet arritën në përfundimin se kjo përputhje ishte dëshmi e arritjeve të mëdha kineze në llojin e matematikës filozofike që Leibniz e çmonte shumë. Për këtë shpikje paralele, Leibniz shkroi në "Shpjegimin e Aritmetikës Binare" se "ky rikthim i kuptimit të tyre, pas një kohe kaq të gjatë, do të duket edhe më kurioz".

Marrëdhënia ishte një ide qendrore për konceptin e tij të një gjuhe universale, ose të karakteristikës universale, një ide popullore që do të ndiqej nga afër nga pasardhësit e tij, si Gottlob Frege dhe George Boole, gjatëformimit të logjikës simbolike moderne . ^[17] Leibniz u njoh për herë të parë me I Ching nëpërmjet kontaktit të tij me jezuitin francez Joachim Bouvet, i cili vizitoi Kinën në vitin 1685 si misionar. Leibniz i shihte heksagramet e I Ching si një pohim të universalitetit të besimeve të tij fetare si i krishterë. ^[18] Numrat binarë ishin qendrorë në teologjinë e Leibniz-it. Ai besonte se numrat binarë simbolizonin idenë e krishterë të creatio ex nihilo ose krijimit nga hiçi. ^[19]

↑ "Why Did Thomas Harriot Invent Binary?". springer.com. Marrë më 17 prill 2026. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
↑ "History of The Binary Number System". convertbinary.com. Marrë më 17 prill 2026. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
↑ Edward Hacker; Steve Moore; Lorraine Patsco (2002). I Ching: An Annotated Bibliography. Routledge. fq. 13. ISBN 978-0-415-93969-0. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
↑ Redmond, Geoffrey; Hon, Tze-Ki (2014). Teaching the I Ching. Oxford University Press. fq. 227. ISBN 978-0-19-976681-9. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
↑ Shah, Jayant. "A History of Pingala's Combinatorics" (PDF). Arkivuar nga origjinali (PDF) më 2016-07-06. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
↑ Stakhov, Alexey; Olsen, Scott Anthony (2009). The mathematics of harmony: from Euclid to contemporary mathematics and computer science. World Scientific. ISBN 978-981-277-582-5. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
1 2 Landry (2019).
↑ "Ifa Divination System". Marrë më 5 korrik 2017. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
↑ Bender, Andrea; Beller, Sieghard (16 dhjetor 2013). "Mangarevan invention of binary steps for easier calculation". Proceedings of the National Academy of Sciences. 111 (4): 1322–1327. doi:10.1073/pnas.1309160110. PMC 3910603. PMID 24344278. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
↑ Jonathan Shectman (2003). Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the 18th Century. Greenwood Publishing. fq. 29. ISBN 978-0-313-32015-6. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
↑ Bowern, Claire; Zentz, Jason (2012). "Diversity in the Numeral Systems of Australian Languages". Anthropological Linguistics. 54 (2): 133–160. ISSN 0003-5483. JSTOR 23621076. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
1 2 Bacon, Francis (1605). "The Advancement of Learning". London. fq. Chapter 1. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
↑ Shirley, John W. (1951). "Binary numeration before Leibniz". American Journal of Physics. 19 (8): 452–454. Bibcode:1951AmJPh..19..452S. doi:10.1119/1.1933042. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
↑ Ineichen, R. (2008). "Leibniz, Caramuel, Harriot und das Dualsystem" (PDF). Mitteilungen der deutschen Mathematiker-Vereinigung (në gjermanisht). 16 (1): 12–15. doi:10.1515/dmvm-2008-0009. Arkivuar nga origjinali (PDF) më 28 dhjetor 2021. Marrë më 15 tetor 2017.{{cite journal}}: Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
1 2 3 Strickland, Lloyd (2020), "Leibniz on Number Systems", përmbledhur nga Sriraman, Bharath (red.), Handbook of the History and Philosophy of Mathematical Practice (në anglisht), Cham: Springer International Publishing, fq. 1–31, doi:10.1007/978-3-030-19071-2_90-1, ISBN 978-3-030-19071-2, marrë më 2024-08-20
↑ Gabim citimi: Etiketë <ref> e pavlefshme; asnjë tekst nuk u dha për refs e quajtura "lnz"
↑ Aiton, Eric J. (1985). Leibniz: A Biography. Taylor & Francis. fq. 245–8. ISBN 0-85274-470-6. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
↑ J.E.H. Smith (2008). Leibniz: What Kind of Rationalist?: What Kind of Rationalist?. Springer. fq. 415. ISBN 978-1-4020-8668-7. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
↑ Yuen-Ting Lai (1998). Leibniz, Mysticism and Religion. Springer. fq. 149–150. ISBN 978-0-7923-5223-5. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

Zhvillimet e mëvonshme

Në vitin 1854, matematikani britanik George Boole botoi një punim historik ku përshkroi një sistem algjebrik të logjikës që më vonë do të njihej si algjebra e Bulit . Llogaria e tij logjike do të bëhej shumë e rëndësishme në projektimin e qarqeve elektronike dixhitale. ^[1]

Në vitin 1937, Claude Shannon prodhoi tezën e masterit në MIT, ku për herë të parë në histori zbatoi algjebrën booleane dhe aritmetikën binare në rele dhe çelësa elektronikë. E titulluar "Një Analizë Simbolike e Qarqeve me Rele dhe Ndërprerëse", teza e Shannon-it në thelb i hodhi themelet e projektimin praktik të qarqeve dixhitale . ^[2]

Në nëntor të vitit 1937, George Stibitz, që atëherë punonte në Bell Labs, e përfundoi një kompjuter të bazuar në rele, të cilin e quajti " Model K " (nga " Kitchen ", pra kuzhina ku e kishte montuar), i cili llogariste duke përdorur mbledhjen binare. ^[3] Laboratorët Bell miratuan një program të plotë kërkimor në fund të vitit 1938, me Stibitz në krye. Kompjuteri i tyre i Numrave Kompleksë, i përfunduar më 8 janar 1940, mund të llogariste numra kompleksë . Në një demonstrim në konferencën e Shoqërisë Amerikane të Matematikës në Kolegjin Dartmouth më 11 shtator 1940, Stibitz arriti t'i dërgonte Llogaritësit të Numrave Kompleksë komanda në distancë, nëpërmjet linjave telefonike me anë të një teletipi . Ishte makina e parë kompjuterike e përdorur ndonjëherë nga distanca nëpërmjet një linje telefonike. Disa pjesëmarrës të konferencës që e panë demonstrimin ishin John von Neumann, John Mauchly dhe Norbert Wiener, i cili shkroi për këtë në kujtimet e tij. ^[4] ^[5] ^[6]

Kompjuteri Z1, i cili u projektua dhe u ndërtua nga Konrad Zuse ndërmjet viteve 1935 dhe 1938, përdorte logjikën booleane dhe numra binarë me pikë lundruese . ^[7]

Përfaqësimi

Çdo numër mund të paraqitet përmes një vargu bitësh (shifrash binare), të cilat mund të përfaqësohen me anë të çdo mekanizmi që ka dy gjendje të dallueshme dhe të kundërta. Secili nga rreshtat e simboleve të mëposhtme mund të lexohet si paraqitje e vlerës numerike binare të numrit 667:

1	0	1	0	0	1	1	0	1	1
\|	―	\|	―	―	\|	\|	―	\|	\|
☒	☐	☒	☐	☐	☒	☒	☐	☒	☒
y	n	y	n	n	y	y	n	y	y
T	F	T	F	F	T	T	F	T	T
+	-	+	-	-	+	+	-	+	+

Një orë binare mund të përdorë LED për të shprehur vlera binare. Në këtë orë, çdo kolonë e LED-ve tregon një numër dhjetor të koduar binar të kohës tradicionale gjashtëvjeçare .

Vlera numerike e paraqitur në secilin rast varet nga vlera që i caktohet secilit simbol. Në ditët e para të informatikës, çelësat, vrimat dhe shiritat prej letre të shpuar përdoreshin për të paraqitur vlerat binare. [1] Në kompjuterët modernë, vlerat numerike mund të paraqiten përmes dy niveleve të ndryshme të tensionit, ndërsa në disqet magnetike mund të përdoren polaritete të ndryshme magnetike. Një gjendje «pozitive», «po» ose «aktive» nuk përfaqëson domosdoshmërisht vlerën numerike 1, pasi kjo varet nga arkitektura e përdorur.

Në përputhje me mënyrën e zakonshme të paraqitjes të numrave me shifra arabe, numrat binarë zakonisht shkruhen duke përdorur simbolet 0 dhe 1 . Kur shkruhen, numrat binarë shpesh shoqërohen me një tregues të vogël poshtë, me një parashtesë ose me një prapashtesë, për të treguar bazën ose rrënjën e tyre. Shënimet e mëposhtme janë ekuivalente:

100101 binar (deklaratë e qartë e formatit)
100101b (një prapashtesë që tregon formatin binar; e njohur edhe si konventa Intel ^[8] ^[9] )
100101B (një prapashtesë që tregon formatin binar)
bin 100101 (një parashtesë që tregon formatin binar)
100101 ₂ (një nën-indeks që tregon simbolizimin me bazë 2 (binar))
%100101 (një parashtesë që tregon formatin binar; e njohur edhe si konventa e Motorolës ^[8] ^[9] )
0b100101 (një parashtesë që tregon formatin binar, e zakonshme në gjuhët e programimit)
6b100101 (një parashtesë që tregon numrin e biteve në formatin binar, e zakonshme në gjuhët e programimit)
#b100101 (një parashtesë që tregon formatin binar, e zakonshme në gjuhët e programimit Lisp)

Kur shqiptohen, numrat binarë zakonisht lexohen shifër për shifër, për t'i dalluar ato nga numrat dhjetorë. Për shembull, numri binar 100 shqiptohet një zero zero, në vend të njëqind, për ta bërë natyrën e tij binare të duket e qartë dhe të mos ketë gabime. Meqenëse numri binar 100 ka vlerën katër, do të ishte e ngatërruar ta quanim njëqind (një fjalë që tregon një vlerë ose sasi krejt tjetër). Nga ana tjetër, numri binar 100 mund të lexohet edhe si "katër" ( vlera e saktë ), por kështu natyra e tij binare nuk duket e qartë.

Numërimi në binar

Numërimi në sistemin binar është i ngjashëm me numërimin në çdo sistem tjetër numrash. Duke filluar me një shifër të vetme, numërimi vazhdon nëpër çdo simbol, sipas rradhës rritëse. Para se të shqyrtojmë numërimin binar, është e dobishme të shpjegojmë shkurtimisht sistemin më të njohur të numërimit, atë dhjetor si sistem krahasimi.

Numërimi dhjetor

Sistemi dhjetor përdor dhjetë simbolet nga 0 deri në 9. Numërimi fillon me ndryshimin gradual të shifrës me peshën më të vogël (shifra më e djathtë), e cila shpesh quhet shifra e parë. Kur shterojnë simbolet e disponueshme për këtë pozicion, shifra me peshën më të vogël kthehet në 0, ndërsa shifra pasuese, me peshë më të madhe (një pozicion më në të majtë), rritet me një njësi («bartja»). Më pas, ndryshimi i shifrës me peshë më të vogël rifillon. Ky proces i kthimit në zero dhe i bartjes përsëritet për secilën shifër. Numërimi vazhdon kështu:

000, 001, 002, ... 007, 008, 009, (shifra më e djathtë rivendoset në zero, dhe shifra në të majtën e saj rritet)

0 1 0, 011, 012, ...

...

090, 091, 092, ... 097, 098, 099, (dy shifrat më të djathta rivendosen në zero, dhe shifra tjetër rritet)

100, 101, 102, ...

Numërimi binar

Ky numërues tregon se si të numërosh në sistem binar nga zero deri në tridhjetë e një.

Numërimi binar ndjek të njëjtën procedurë, edhe këtu ndërrimi rritës fillon me shifrën binare më pak të rëndësishme, pra me bitin (më i djathti, i quajtur edhe biti i parë ), vetëm se këtu kemi në dispozicion vetëm dy simbolet 0 dhe 1. Kështu, kur një bit arrin vlerën 1 në sistemin binar, rritja e kthen te 0, por edhe e rrit me një bitin tjetër në të majtë:

0000,

000 1, (biti më i djathtë fillon nga e para, dhe biti tjetër rritet)

00 1 0, 0011, (dy bitët më të djathtë fillojnë nga e para, dhe biti tjetër rritet)

0 1 00, 0101, 0110, 0111, (tre bitët më të djathtë fillojnë nga e para, dhe biti tjetër rritet)

1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 ...

Në sistemin binar, çdo bit përfaqëson një fuqi rritëse të 2, ku biti më i djathtë paraqet ²⁰, tjetri paraqet²¹, pastaj ²² e kështu me radhë. Vlera e një numri binar është shuma e fuqive të 2 që paraqiten nga secili bit "1". Për shembull, numri binar 100101 shndërrohet në numër dhjetor kështu:

100101 ₂ = [( 1 ) × 2 ⁵ ] + [( 0 ) × 2 ⁴ ] + [( 0 ) × 2 ³ ] + [( 1 ) × 2 ² ] + [( 0 ) × 2 ¹ ] + [( 1 ) × 2 ⁰ ]

100101 ₂ = [ 1 × 32 ] + [ 0 × 16 ] + [ 0 × 8 ] + [ 1 × 4 ] + [ 0 × 2 ] + [ 1 × 1 ]

100101 ₂ = 37 ₁₀

Aritmetikë binare

Aritmetika në sistemin binar është shumë e ngjashme me aritmetikën në sistemet e tjera numerike që përdorin shënimin pozicional . Mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe pjesëtimi mund të kryhen me numra binarë.

Mbledhje

Diagrama e qarkut për një gjysmëmbledhës binar, i cili mbledh dy bit së bashku, duke prodhuar bit shumues dhe bit mbartës

Veprimi më i thjeshtë aritmetik në sistemin binar është mbledhja. Mbledhja e dy numrave binarë me nga një shifër është mjaft e thjeshtë, duke përdorur një formë të bartjes:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, mbart 1 (meqenëse 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2 ¹ ) )

Mbledhja e dy shifrave "1" jep shifrën "0", ndërsa 1 do të duhet t'i shtohet kolonës tjetër. Kjo është e ngjashme me atë që ndodh në sistemin dhjetor kur mblidhen disa numra njëshifrorë; nëse rezultati është i barabartë ose e kalon vlerën e rrënjës (10), shifra në të majtë rritet me një:

5 + 5 → 0, mbart 1 (meqenëse 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10 ¹ ))

7 + 9 → 6, mbart 1 (meqenëse 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10 ¹ ))

Kjo quhet bartje . Kur rezultati i një mbledhjeje e kalon vlerën e një shifre, procedura është që teprica e pjesëtuar me rrënjën (pra, 10/10) të "bartet" në të majtë, duke ia shtuar vlerës së pozicionit tjetër. Kjo është e saktë sepse pozicioni tjetër ka një peshë që është aq herë më e madhe se rrënja. Bartja funksionon në të njëjtën mënyrë edhe në sistemin binar:

1 0 1
    ____________
1 0 1) 1 1 0 1 1
    − 1 0 1
     -----
       1 1 1
     − 1 0 1
       -----
       0 1 0

Në këtë shembull, mblidhen dy numra: 01101₂ (13₁₀) dhe 10111₂ (23₁₀). Rreshti i sipërm tregon bitët që barten gjatë mbledhjes. Duke filluar nga kolona më e djathtë, kemi: 1 + 1 = 10₂. Bit-i 1 bartet në kolonën majtas, ndërsa 0 shkruhet në fund të kolonës më të djathtë. Më pas, mblidhen bitët e kolonës së dytë nga e djathta: 1 + 0 + 1 = 10₂. Përsëri, 1 bartet në kolonën majtas, ndërsa 0 shkruhet poshtë. Në kolonën e tretë kemi: 1 + 1 + 1 = 11₂. Këtë herë, 1 bartet në kolonën majtas dhe 1 shkruhet në rreshtin e poshtëm. Duke vazhduar në të njëjtën mënyrë, arrihet rezultati përfundimtar: 100100₂ (36₁₀).

Kur kompjuterët duhet të mbledhin dy numra, rregulli që x xor y = (x + y) mod 2 për çdo dy bit x dhe y e bën llogaritjen shumë të shpejtë.

Metoda e mbajtjes së gjatë

Një mënyrë për të thjeshtuar shumë probleme të mbledhjes binare është «metoda e bartjes së gjatë» ose «metoda Brookhouse e mbledhjes binare». Kjo metodë është veçanërisht e dobishme kur njëri prej numrave përmban një varg të gjatë njëshesh. Ajo bazohet në një parim të thjeshtë të sistemit binar: kur kemi një varg shifrash që përbëhet vetëm nga njësha (ku gjatësia e vargut mund të jetë çfarëdo numri i plotë), mbledhja e numrit 1 jep si rezultat numrin 1, të ndjekur nga një varg zerosh. I njëjti parim vlen edhe në sistemin dhjetor, ku mbledhja e numrit 1 me një varg nëntëshe jep numrin 1, të ndjekur nga një varg zerosh:

Decimal Binar
  1 1 1 1 1 po ashtu 9 9 9 9 9
 + 1 + 1
 ———————————— ————————————
 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Vargje të tilla të gjata janë mjaft të zakonshme në sistemin binar. Prandaj numrat e mëdhenj binarë mund të mblidhen me dy hapa të thjeshtë, pa shumë veprime bartjeje. Në shembullin e mëposhtëm, dy numra po mblidhen : 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 ₂ (958 ₁₀ ) dhe 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 ₂ (691 ₁₀ ), duke përdorur metodën tradicionale të bartjes në të majtë dhe metodën e bartjes së gjatë në të djathtë:

Metoda Tradicionale e Mbajtjes Metoda e Mbajtjes së Gjatë
                kundrejt
 1 1 1  1 1 1 1 1   (carried digits)  1 ←   1 ← mbaj 1-shin derisa të jetë një shifër përtej "vargut" më poshtë
  1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 fshij "vargun",
+ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 + 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 dhe fshij shifrën që i është shtuar
—————————————————————————— ——————————————————————
= 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1

Rreshti i sipërm tregon bitët e bartjes që përdoren. Në vend të bartjes së zakonshme nga një kolonë te tjetra, mund të shtohet "1"-shi i rendit më të ulët me një "1" në vlerën përkatëse të vendit poshtë tij dhe një "1"(njësh) mund të bartet deri në një shifër pas fundit të vargut. Numrat "e përdorur" duhet të fshihen, pasi ato janë mbledhur tashmë. Vargje të tjera të gjata gjithashtu mund të anulohen me të njëjtën teknikë. Pastaj, thjesht shtoni së bashku çdo shifër të mbetur normalisht. Duke vepruar në këtë mënyrë, del përgjigjja përfundimtare e 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 ₂ (1649 ₁₀ ). Në shembullin tonë të thjeshtë me numra të vegjël, metoda tradicionale e bartjes kërkonte tetë veprime bartjeje, kurse metoda e bartjes së gjatë kërkonte vetëm dy, çka e zvogëlon shumë mundin .

Tabela e mbledhjes

	0	1
0	0	1
1	1	10

Tabela e mbledhjes binare është e ngjashme, por jo e njëjtë me tabelën e vërtetësisë së operacionit të shkëputjes logjike . $\lor$ . Dallimi është se $1 \lor 1 = 1$ , ndërsa $1 + 1 = 10$ .

Zbritje

↑ Boole, George (2009). An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (bot. Macmillan, Dover Publications, reprinted with corrections [1958]). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-00153-3. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
↑ Shannon, Claude Elwood. A symbolic analysis of relay and switching circuits (Tezë). Massachusetts Institute of Technology. {{cite thesis}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
↑ "National Inventors Hall of Fame – George R. Stibitz". 20 gusht 2008. Arkivuar nga origjinali më 9 korrik 2010. Marrë më 5 korrik 2010. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
↑ "George Stibitz : Bio". Math & Computer Science Department, Denison University. 30 prill 2004. Marrë më 5 korrik 2010. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
↑ "Pioneers – The people and ideas that made a difference – George Stibitz (1904–1995)". Kerry Redshaw. 20 shkurt 2006. Marrë më 5 korrik 2010. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
↑ "George Robert Stibitz – Obituary". Computer History Association of California. 6 shkurt 1995. Marrë më 5 korrik 2010. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)
↑ "Konrad Zuse's Legacy: The Architecture of the Z1 and Z3" (PDF). IEEE Annals of the History of Computing. 19: 5–16. prill–qershor 1997. doi:10.1109/85.586067. Arkivuar (PDF) nga origjinali më 2022-07-03. Marrë më 2022-07-03. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja) (12 pages)
1 2 Küveler, Gerd; Schwoch, Dietrich (2013). Arbeitsbuch Informatik – eine praxisorientierte Einführung in die Datenverarbeitung mit Projektaufgabe (në gjermanisht). Vieweg-Verlag, reprint: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-322-92907-5. ISBN 978-3-528-04952-2. 9783322929075.
1 2 Küveler, Gerd; Schwoch, Dietrich (2007-10-04). Informatik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: PC- und Mikrocomputertechnik, Rechnernetze (në gjermanisht). Vëll. 2 (bot. 5). Vieweg, reprint: Springer-Verlag. ISBN 978-3834891914. 9783834891914.

Zbritja funksionon në të njëjtën mënyrë:

0 − 0 → 0

0 − 1 → 1, huazo 1

1 − 0 → 1

1 − 1 → 0

Zbritja e shifrës "1" nga shifra "0" jep shifrën "1", ndërsa 1 duhet të zbritet nga kolona tjetër. Kjo quhet huazim . Parimi është i njëjtë si për bartjen. Kur rezultati i një zbritjeje është më i vogël se 0, vlera më e vogël e mundshme e një shifre, procedura është të "huazohet" deficiti i pjesëtuar me rrënjën (pra, 10/10) nga e majta, duke e zbritur atë nga vlera tjetër pozicionale.

1 1 1 1 1  (carried digits)
  0 1 1 0 1
+ 1 0 1 1 1
--------------
= 1 0 0 1 0 0 = 36

* * * * (kolonat me yll janë huazuar nga)
 1 1 0 1 1 1 0
− 1 0 1 1 1
--- ...
= 1 0 1 0 1 1 1

Zbritja e një numri pozitiv është ekuivalente me mbledhjen e një numri negativ me vlerë absolute të barabartë. Kompjuterët përdorin paraqitje të numrave me shenjë për t'i trajtuar numrat negativë, më shpesh shënimin e plotësuesit të dyshit . Përfaqësime të tilla eliminojnë nevojën për një operacion të veçantë "zbritjeje"..Duke përdorur notacionin e komplementit me dy, zbritja mund të përmblidhet me formulën e mëposhtme:

A − B = A + not B + 1

Shumëzimi

Shumëzimi në sistemin binar është i ngjashëm me homologun e tij dhjetor. Dy numra dhe mund të shumëzohen me prodhime të pjesshme: për çdo shifër të , prodhimi i asaj shifre në llogaritet dhe shkruhet në një rresht të ri, të zhvendosur majtas, në mënyrë që shifra e saj më e djathtë të përputhet me shifrën që u përdor. Shuma e të gjitha këtyre produkteve të pjesshme jep rezultatin përfundimtar.

Meqenëse në sistemin binar ka vetëm dy shifra, ekzistojnë vetëm dy rezultate të mundshme të çdo shumëzimi të pjesshëm:

Nëse shifra në është 0, prodhimi i pjesshëm është gjithashtu 0
Nëse shifra në është 1, prodhimi i pjesshëm është i barabartë me

101. 1 0 1  (5.625 në decimal)
       × 1 1 0. 0 1  (6.25 në decimal)
       --- ...
          1. 0 1 1 0 1 ← në një 'një' në 
   + 0 0. 0 0 0 0 ← në një 'zero' në 
   + 0 0 0. 0 0 0
   + 1 0 1 1. 0 1
   + 1 0 1 1 0. 1
   ------------------------------
   = 1 0 0 0 1 1. 0 0 1 0 1 (35.15625 në decimal)

Numrat binarë mund të shumëzohen edhe me bit pas një pike binare :

101. 1 0 1  (5.625 në decimal)
       × 1 1 0. 0 1  (6.25 në decimal)
       --- ...
          1. 0 1 1 0 1 ← në një 'një' në 
   + 0 0. 0 0 0 0 ← në një 'zero' në 
   + 0 0 0. 0 0 0
   + 1 0 1 1. 0 1
   + 1 0 1 1 0. 1
   ------------------------------
   = 1 0 0 0 1 1. 0 0 1 0 1 (35.15625 në decimal)

Tabela e shumëzimit

	0	1
0	0	0
1	0	1

Tabela e shumëzimit binar është e njëjtë me tabelën e vërtetësisë së operacionit logjik të lidhjes . $\land$ .

Divizioni

Pjesëtimi i gjatë në sistemin binar është përsëri i ngjashëm me homologun e tij dhjetor.

Në shembullin më poshtë, pjesëtuesi është 101 ₂, ose 5 në presjen dhjetore, ndërsa i pjesëtuari është 110 11 ₂, ose 27 në presjen dhjetore. Procedura është e njëjtë me atë të pjesëtimit të gjatë dhjetor; këtu, pjesëtuesi 101 ₂ hyn në tre shifrat e para 110 ₂ të dividendit një herë, prandaj një "1" shkruhet në rreshtin e sipërm. Ky rezultat shumëzohet me pjesëtuesin dhe zbritet nga tre shifrat e para të dividendit; shifra tjetër (një "1") përfshihet për të marrë një sekuencë të re treshifrore:

1
    ____________
1 0 1) 1 1 0 1 1
    − 1 0 1
     -----
     0 0 1

Procedura përsëritet më pas në vargun e ri dhe vazhdon derisa të mbarojnë shifrat e të pjesëtuarit:

* (kolonat me yll janë huazuar nga)
 1 0 1 1 1 1 1
– 1 0 1 0 1 1
--- ...
= 0 1 1 0 1 0 0

Kështu, herësi i 11011 ₂ pjesëtuar me 101 ₂ është 101 ₂, siç tregohet në rreshtin e sipërm, kurse mbetja, e treguar në vijën e poshtme, është 10 ₂ . Në sistemin dhjetor, kjo përputhet me faktin se 27 i pjesëtuar me 5 jep 5, me mbetje 2.

Përveç pjesëtimit të gjatë, procedura mund të ndërtohet edhe në mënyrë që të lejojë zbritjen e tepërt nga mbetja e pjesshme në çdo hap, çka çon në metoda të tjera të cilat janë më pak sistematike, por si rezultat më fleksibile.

Rrënjë katrore

Procesi i nxjerrjes së rrënjës katrore binare shifër për shifër është në thelb i njëjtë me atë të rrënjës katrore dhjetore, por shumë më i thjeshtë, për shkak të natyrës binare. Së pari gruponi shifrat në çifte, duke vënënjë 0 në fillim nëse është e nevojshme, në mënyrë që të dalë një numër çift shifrash. Pastaj në çdo hap, merr përgjigjen që ke deri tani, të zgjeruar me shifrat 01. Nëse kjo mund të zbritet nga mbetja aktuale, bëjeni këtë. Pastaj zgjerojeni mbetjen me çiftin tjetër të shifrave. Nëse zbritni, shifra tjetër e përgjigjes është 1, përndryshe është 0.

1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1
 ------------- ------------- ------------- ------------- -------------
√ 10 10 10 01 √ 10 10 10 01 √ 10 10 10 01 √ 10 10 10 01 √ 10 10 10 01 √ 10 10 10 01
              - 1 - 1 - 1 - 1     
Përgjigja deri më tani është 0, ---- ---- ---- ----    
i zgjatur me 01 është 001, 1 10 1 10 1 10 1 10
kjo MUND të zbritet - 1 01 - 1 01 - 1 01
nga çifti i parë 10, Përgjigja deri më tani është 1, ------- ------- -------
pra shifra e parë e zgjeruar me 01 është 101, 1 10 1 10 01 1 10 01
përgjigja është 1. kjo MUND të zbritet - 1 10 01
             nga mbetja 110, kështu që Përgjigja deri më tani është 11, Përgjigja deri më tani është 110, ----------
             Shifra tjetër e përgjigjes është 1. i zgjatur me 01 është 1101, i zgjatur me 01 është 11001, 0
                           Kjo është SHUMË E MADHE për t'u zbritur
                           zbrit nga mbetja nga mbetja 11001, kështu që U krye!
               110, kështu që shifra tjetër e shifrës tjetër të përgjigjes është 1.
               përgjigja është 0.

Thyesat

Në aritmetikën binare, zgjerimi binar i një thyese përfundon vetëm nëse emëruesi është një fuqi e 2 . Si rezultat, 1/10 nuk ka një paraqitje binare të fundme (10 ka faktorë të thjeshtë 2 dhe 5). Kjo bën që 10 × 1/10 të mos jetë saktësisht i barabartë me 1 në aritmetikën binare me pikë lundruese . Si shembull, për zgjerimin binar të 1/3 është 0,010101... , që do të thotë se

\frac{1}{3} = 0 \times 2^{- 1} + 1 \times 2^{- 2} + 0 \times 2^{- 3} + 1 \times 2^{- 4} + \dots .

Fraction	Decimal	Binary	Fractional approximation
1/1	1 or 0.999...	1 or 0.1	1/2 + 1/4 + 1/8...
1/2	0.5 or 0.4999...	0.1 or 0.01	1/4 + 1/8 + 1/16 . . .
1/3	0.333...	0.01	1/4 + 1/16 + 1/64 . . .
1/4	0.25 or 0.24999...	0.01 or 0.001	1/8 + 1/16 + 1/32 . . .
1/5	0.2 or 0.1999...	0.0011	1/8 + 1/16 + 1/128 . . .
1/6	0.1666...	0.001	1/8 + 1/32 + 1/128 . . .
1/7	0.142857142857...	0.001	1/8 + 1/64 + 1/512 . . .
1/8	0.125 or 0.124999...	0.001 or 0.0001	1/16 + 1/32 + 1/64 . . .
1/9	0.111...	0.000111	1/16 + 1/32 + 1/64 . . .
1/10	0.1 or 0.0999...	0.00011	1/16 + 1/32 + 1/256 . . .
1/11	0.090909...	0.0001011101	1/16 + 1/64 + 1/128 . . .
1/12	0.08333...	0.0001	1/16 + 1/64 + 1/256 . . .
1/13	0.076923076923...	0.000100111011	1/16 + 1/128 + 1/256 . . .
1/14	0.0714285714285...	0.0001	1/16 + 1/128 + 1/1024 . . .
1/15	0.0666...	0.0001	1/16 + 1/256 . . .
1/16	0.0625 or 0.0624999...	0.0001 or 0.00001	1/32 + 1/64 + 1/128 . . .

Veprime bit-bit

Edhe pse nuk lidhet drejtpërdrejt me leximin numerik të simboleve binare, vargjet e bitëve mund të përpunohen me operatorë logjikë booleanë . Kur një varg simbolesh binare manipulohet në këtë mënyrë, kjo quhet operacion bitwise ; operatorët logjikë DHE, OSE dhe XOR mund të kryhen në bitët përkatës në dy numra binarë të dhënë si të dhëna hyrëse. Operacioni logjik NOT mund të kryhet në bit individualë në një numër të vetëm binar të dhënë si hyrje. Nganjëherë, operacione të tilla mund të përdoren si shkurtesa aritmetike dhe mund të kenë edhe dobi të tjera llogaritëse. Për shembull, një zhvendosje aritmetike majtas e një numri binar është ekuivalente me shumëzimin me një fuqi (pozitive, integrale) të 2.

Konvertimi në dhe nga sisteme të tjera numerike

Decimal në binar

Konvertimi i (357) ₁₀ në simbol binar rezulton në (101100101)

Për ta shndërruar një numër të plotë nga baza 10 në ekuivalentin e tij në bazën 2 (sistemin binar), numri pjesëtohet me dy. Mbetja e pjesëtimit përfaqëson bitin me peshën më të vogël. Më pas, herësi pjesëtohet përsëri me dy dhe mbetja e këtij pjesëtimi bëhet biti pasues me peshë më të vogël. Ky proces përsëritet derisa herësi të jetë i barabartë me një. Vargu i mbetjeve, duke përfshirë edhe herësin përfundimtar prej një, formon numrin binar, pasi çdo mbetje gjatë pjesëtimit me dy mund të jetë vetëm zero ose një. Për shembull, (357)₁₀ shkruhet si (101100101)₂. [1]

Binar në dhjetor

Shndërrimi nga baza 2 në bazën 10 bëhet duke ndjekur procesin e kundërt të algoritmit të mëparshëm. Bitët e numrit binar merren një nga një, duke filluar nga biti me peshën më të madhe (më i majti). Duke filluar nga vlera 0, vlera e mëparshme dyfishohet dhe më pas i shtohet biti pasues, për të përftuar vlerën e radhës. Ky proces mund të paraqitet në një tabelë me disa kolona. Për shembull, për të shndërruar numrin 10010101101₂ në numër dhjetor:

Vlera paraprake	× 2 +	Pjesa tjetër	= Vlera tjetër
0	× 2 +	1	= 1
1	× 2 +	0	= 2
2	× 2 +	0	= 4
4	× 2 +	1	= 9
9	× 2 +	0	= 18
18	× 2 +	1	= 37
37	× 2 +	0	= 74
74	× 2 +	1	= 149
149	× 2 +	1	= 299
299	× 2 +	0	= 598
598	× 2 +	1	= 1197

Rezultati është 1197 ₁₀ . Vlera e parë paraprake prej 0 është thjesht një vlerë fillestare dhjetore. Kjo metodë është një zbatim i skemës Horner .

Binar	1	0	0	1	0	1	0	1	1	0	1
Dhjetor	1×2 ¹⁰ +	0×2 ⁹ +	0×2 ⁸ +	1×2 ⁷ +	0×2 ⁶ +	1×2 ⁵ +	0×2 ⁴ +	1×2 ³ +	1×2 ² +	0×2 ¹ +	1×2 ⁰ =	1197

Pjesët thyesore të një numri shndërrohen me metoda të ngjashme. Ato bazohen përsëri në ekuivalencën e zhvendosjes me dyfishimin ose përgjysmimin.

Në një numër binar thyesor siç është 0.11010110101 ₂, shifra e parë është $\frac{1}{2}$ , e dyta $(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ , etj. Pra, nëse ka një 1 në vendin e parë pas presjes dhjetore, atëherë numri është të paktën $\frac{1}{2}$ , dhe anasjelltas. Dyfishi i këtij numri është të paktën 1. Kjo sugjeron algoritmin: Dyfishoni vazhdimisht numrin që do të shndërrohet, regjistroni nëse rezultati është të paktën 1 dhe më pas hidhni pjesën e plotë.

Për shembull, $(\frac{1}{3})_{10}$ , në binar, është:

Duke konvertuar	Rezultati
$\frac{1}{3}$	0.
$\frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3} < 1$	0.0
$\frac{2}{3} \times 2 = 1 \frac{1}{3} \geq 1$	0.01
$\frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3} < 1$	0.010
$\frac{2}{3} \times 2 = 1 \frac{1}{3} \geq 1$	0.0101

Kështu, thyesa dhjetore përsëritëse 3 ... është ekuivalente me thyesën binare përsëritëse 01 ... .

Ose për shembull, 0.1 ₁₀, në binar, është:

Duke konvertuar	Rezultati
0.1	0.
0.1 × 2 = 0.2 < 1	0.0
0.2 × 2 = 0.4 < 1	0.00
0.4 × 2 = 0.8 < 1	0.000
0.8 × 2 = 1.6 ≥ 1	0.0001
0.6 × 2 = 1.2 ≥ 1	0.00011
0.2 × 2 = 0.4 < 1	0.000110
0.4 × 2 = 0.8 < 1	0.0001100
0.8 × 2 = 1.6 ≥ 1	0.00011001
0.6 × 2 = 1.2 ≥ 1	0.000110011
0.2 × 2 = 0.4 < 1	0.0001100110

Kjo është gjithashtu një thyesë binare periodike: 0.00011... Mund të duket e çuditshme që thyesat dhjetore me paraqitje të fundme mund të kenë zgjerime periodike në sistemin binar. Prandaj, shumë njerëz habiten kur zbulojnë se shuma e dhjetë numrave 1/10 ndryshon nga 1 në aritmetikën binare me pikë lundruese. Në fakt, të vetmet thyesa binare që kanë paraqitje të fundme janë ato që mund të shprehen si një numër i plotë i pjesëtuar me një fuqi të numrit 2, gjë që nuk vlen për 1/10.

Shndërrimi i fundit është ai nga thyesat binare në thyesa dhjetore. Vështirësia e vetme paraqitet te thyesat periodike. Përndryshe, metoda konsiston në zhvendosjen e presjes dhjetore për ta kthyer thyesën në një numër të plotë, shndërrimin e tij sipas metodës së përshkruar më sipër dhe më pas pjesëtimin me fuqinë përkatëse të numrit 2, të shprehur në sistemin dhjetor. Për shembull:

$\begin{matrix} x & = & 1100 & .1 \overline{01110} \dots \\ x \times 2^{6} & = & 1100101110 & . \overline{01110} \dots \\ x \times 2 & = & 11001 & . \overline{01110} \dots \\ x \times (2^{6} - 2) & = & 1100010101 \\ x & = & 1100010101 / 111110 \\ x & = & (789 / 62)_{10} \end{matrix}$

Një mënyrë tjetër për të shndërruar numrat binarë në numra dhjetorë, e cila shpesh është më e shpejtë për dikë që e njeh mirë sistemin heksadecimal, është shndërrimi i tërthortë: fillimisht numri binar (x) shndërrohet në numër heksadecimal (x), dhe më pas numri heksadecimal (x) shndërrohet në numër dhjetor (x).

Për numrat shumë të mëdhenj, këto metoda të thjeshta janë joefikase, sepse kërkojnë një numër të madh shumëzimesh ose pjesëtimesh, ku njëri nga operandët është shumë i madh. Një algoritëm i thjeshtë i tipit «përçaj dhe sundo» është më efikas nga pikëpamja asimptotike. Duke pasur parasysh një numër binar, ai pjesëtohet me 10ᵏ, ku k zgjidhet në mënyrë që herësi të jetë afërsisht i barabartë me mbetjen. Më pas, secila prej këtyre pjesëve shndërrohet në numër dhjetor dhe të dyja bashkohen. Në rastin e një numri dhjetor, ai ndahet në dy pjesë me madhësi afërsisht të barabartë, të cilat shndërrohen veçmas në numra binarë. Më pas, pjesa e parë e shndërruar shumëzohet me 10ᵏ dhe i shtohet pjesa e dytë e shndërruar, ku k përfaqëson numrin e shifrave dhjetore në pjesën e dytë, pra në atë me peshë më të vogël, përpara shndërrimit.

Heksadecimal

Një truk feste për të gjetur një numër nga kartat në të cilat është shtypur përdor bitët e përfaqësimit binar të numrit. Në skedarin SVG, klikoni një kartë për ta aktivizuar atë.

Sistemi binar mund të shndërrohet lehtësisht në sistemin heksadecimal dhe anasjelltas. Kjo ndodh sepse baza e sistemit heksadecimal (16) është fuqi e bazës së sistemit binar (2). Më konkretisht, 16 = 2⁴, prandaj për paraqitjen e një shifre heksadecimale nevojiten katër shifra binare, siç tregohet në tabelën përbri.

Për të kthyer një numër heksadecimal në ekuivalentin e tij binar, thjesht ndërro shifrat binare përkatëse:

3A ₁₆ = 0011 1010 ₂

E7 ₁₆ = 1110 0111 ₂

Për ta shndërruar një numër binar në ekuivalentin e tij heksadecimal, ndajeni atë në grupe me nga katër bitë. Nëse numri i bitëve nuk është shumëfish i katër, shtoni bitë zero në anën e majtë për ta plotësuar (ky proces quhet mbushje). Për shembull:

1010010 ₂ = 0101 0010 i grupuar me mbushje = 52 ₁₆

11011101 ₂ = 1101 1101 i grupuar = DD ₁₆

Për të shndërruar një numër heksadecimal në ekuivalentin e tij dhjetor, shumëzo ekuivalentin dhjetor të secilës shifër heksadecimale me fuqinë përkatëse të 16 dhe mblidhni vlerat që :

C0E7 ₁₆ = (12 × 16 ³ ) + (0 × 16 ² ) + (14 × 16 ¹ ) + (7 × 16 ⁰ ) = (12 × 4096) + (0 × 256) + (14 × 16) + (7 4 × 3, ₁ )

Oktal

Stampa:Hexadecimal tableSistemi binar gjithashtu shndërrohet lehtë edhe në sistemin numerik oktal, sepse oktali përdor një bazë prej 8, e cila është një fuqi e dy (pra, 2 ³, prandaj duhen saktësisht tre shifra binare për të përfaqësuar një shifër oktal). Përputhja midis numrave oktalë dhe binarë është e njëjtë me atë të tetë shifrave të para të heksadecimalit në tabelën e mësipërme. Numri binar 000 është ekuivalent me shifrën oktale 0, numri binar 111 është ekuivalent me shifrën oktale 7 e kështu me radhë.

Oktal	Binar
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

Shndërrimi nga sistemi oktal në atë binar kryhet në të njëjtën mënyrë si për sistemin heksadecimal :

65 ₈ = 110 101 ₂

17 ₈ = 001 111 ₂

Dhe nga sistemi binar në atë oktal:

101100 ₂ = 101 100 ₂ të grupuara = 54 ₈

10011 ₂ = 010 011 ₂ të grupuara me mbushje = 23 ₈

Dhe nga oktali në decimalin:

65 ₈ = (6 × 8 ¹ ) + (5 × 8 ⁰ ) = (6 × 8) + (5 × 1) = 53 ₁₀

127 ₈ = (1 × 8 ² ) + (2 × 8 ¹ ) + (7 × 8 ⁰ ) = (1 × 64) + (2 × 8) + (7 × 1) = 87 ₁₀

Përfaqësimi i numrave realë

Numrat jo të plotë mund të paraqiten duke përdorur fuqi negative, të cilat ndahen nga shifrat e tjera me anë të një pike radiksi (e quajtur pikë dhjetore në sistemin dhjetor). Për shembull, numri binar 11.01 ₂ do të thotë:

1 × 2 ¹	(1 × 2 = 2 )	plus
1 × 2 ⁰	(1 × 1 = 1 )	plus
0 × 2 ⁻¹	(0 ×¹⁄₂ = 0 )	plus
1 × 2 ⁻²	(1 ×¹⁄₄ = 0.25 )

Për një total prej 3.25 decimale.

Të gjithë numrat racionalë diadikë të formës 2ap kanë një paraqitje binare të fundme, pra paraqitja e tyre binare përmban një numër të kufizuar shifrash pas presjes dhjetore. Numrat e tjerë racionalë kanë gjithashtu paraqitje binare, por ato nuk përfundojnë, por përsëriten pafundësisht, duke pasur një varg të kufizuar shifrash që përsëritet vazhdimisht. Për shembull:

$\frac{1_{10}}{3_{10}} = \frac{1_{2}}{1 1_{2}} = 0.01010101 \overline{01} \dots_{2}$ $\frac{1 2_{10}}{1 7_{10}} = \frac{110 0_{2}}{1000 1_{2}} = 0.1011010010110100 \overline{10110100} \dots_{2}$

Fakti që paraqitja binare e çdo numri racional është ose e fundme, ose periodike, vlen edhe për sistemet e tjera numerike të bazuara në një bazë të caktuar. Shih, për shembull, shpjegimin për sistemin dhjetor. Një ngjashmëri tjetër është se çdo paraqitje binare e fundme ka edhe një paraqitje alternative, bazuar në faktin se 0.111111... është e barabartë me shumën e serisë gjeometrike 2⁻¹ + 2⁻² + 2⁻³ + ..., e cila është e barabartë me 1.

Numrat binarë që nuk mbarojnë dhe as nuk përsëriten përfaqësojnë numra irracionalë . Për shembull,

0.10100100010000100000100... ka një model, por nuk është një model përsëritës me gjatësi fikse, kështu që numri është irracional
1.0110101000001001111001100110011111110... është përfaqësimi binar i $\sqrt{2}$ , rrënja katrore e 2, një tjetër numër iracional. Nuk ka ndonjë model të dallueshëm.

Shih edhe

ASCII
Ternari i balancuar
Operacion bit-bit
Kodi binar
Decimal i koduar binar
Kodi binar jo pozicional
Binar me gisht
Kodi gri
IEEE 754
Regjistri i zhvendosjes me reagim linear
Binar i zhvendosur
Kuibinar
Reduktimi i shumëzuesve
Përfaqësim binar i tepërt
Decimal përsëritës
Komplementi i dyshit
Unicode

Referencat

[[Kategoria:Artikull me përshkrim të shkurtër]] [[Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara]]

[1] "Why Did Thomas Harriot Invent Binary?". springer.com. Marrë më 17 prill 2026. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)

[2] "History of The Binary Number System". convertbinary.com. Marrë më 17 prill 2026. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)

[HackerMoore2002-3] Edward Hacker; Steve Moore; Lorraine Patsco (2002). I Ching: An Annotated Bibliography. Routledge. fq. 13. ISBN 978-0-415-93969-0. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[redmond-hon-4] Redmond, Geoffrey; Hon, Tze-Ki (2014). Teaching the I Ching. Oxford University Press. fq. 227. ISBN 978-0-19-976681-9. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[5] Shah, Jayant. "A History of Pingala's Combinatorics" (PDF). Arkivuar nga origjinali (PDF) më 2016-07-06. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[6] Stakhov, Alexey; Olsen, Scott Anthony (2009). The mathematics of harmony: from Euclid to contemporary mathematics and computer science. World Scientific. ISBN 978-981-277-582-5. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[FOOTNOTELandry2019-7] 1 2 Landry (2019).

[8] "Ifa Divination System". Marrë më 5 korrik 2017. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)

[9] Bender, Andrea; Beller, Sieghard (16 dhjetor 2013). "Mangarevan invention of binary steps for easier calculation". Proceedings of the National Academy of Sciences. 111 (4): 1322–1327. doi:10.1073/pnas.1309160110. PMC 3910603. PMID 24344278. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)

[scientific-10] Jonathan Shectman (2003). Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the 18th Century. Greenwood Publishing. fq. 29. ISBN 978-0-313-32015-6. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[11] Bowern, Claire; Zentz, Jason (2012). "Diversity in the Numeral Systems of Australian Languages". Anthropological Linguistics. 54 (2): 133–160. ISSN 0003-5483. JSTOR 23621076. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[Bacon1605-12] 1 2 Bacon, Francis (1605). "The Advancement of Learning". London. fq. Chapter 1. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[13] Shirley, John W. (1951). "Binary numeration before Leibniz". American Journal of Physics. 19 (8): 452–454. Bibcode:1951AmJPh..19..452S. doi:10.1119/1.1933042. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[14] Ineichen, R. (2008). "Leibniz, Caramuel, Harriot und das Dualsystem" (PDF). Mitteilungen der deutschen Mathematiker-Vereinigung (në gjermanisht). 16 (1): 12–15. doi:10.1515/dmvm-2008-0009. Arkivuar nga origjinali (PDF) më 28 dhjetor 2021. Marrë më 15 tetor 2017.{{cite journal}}: Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)

[:0-15] 1 2 3 Strickland, Lloyd (2020), "Leibniz on Number Systems", përmbledhur nga Sriraman, Bharath (red.), Handbook of the History and Philosophy of Mathematical Practice (në anglisht), Cham: Springer International Publishing, fq. 1–31, doi:10.1007/978-3-030-19071-2_90-1, ISBN 978-3-030-19071-2, marrë më 2024-08-20

[lnz-16] Gabim citimi: Etiketë <ref> e pavlefshme; asnjë tekst nuk u dha për refs e quajtura "lnz"

[17] Aiton, Eric J. (1985). Leibniz: A Biography. Taylor & Francis. fq. 245–8. ISBN 0-85274-470-6. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[smith-18] J.E.H. Smith (2008). Leibniz: What Kind of Rationalist?: What Kind of Rationalist?. Springer. fq. 415. ISBN 978-1-4020-8668-7. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[lniz-19] Yuen-Ting Lai (1998). Leibniz, Mysticism and Religion. Springer. fq. 149–150. ISBN 978-0-7923-5223-5. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[20] Boole, George (2009). An Investigation of the Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (bot. Macmillan, Dover Publications, reprinted with corrections [1958]). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-00153-3. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[21] Shannon, Claude Elwood. A symbolic analysis of relay and switching circuits (Tezë). Massachusetts Institute of Technology. {{cite thesis}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[22] "National Inventors Hall of Fame – George R. Stibitz". 20 gusht 2008. Arkivuar nga origjinali më 9 korrik 2010. Marrë më 5 korrik 2010. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)

[23] "George Stibitz : Bio". Math & Computer Science Department, Denison University. 30 prill 2004. Marrë më 5 korrik 2010. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)

[24] "Pioneers – The people and ideas that made a difference – George Stibitz (1904–1995)". Kerry Redshaw. 20 shkurt 2006. Marrë më 5 korrik 2010. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)

[25] "George Robert Stibitz – Obituary". Computer History Association of California. 6 shkurt 1995. Marrë më 5 korrik 2010. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja)

[zuse-26] "Konrad Zuse's Legacy: The Architecture of the Z1 and Z3" (PDF). IEEE Annals of the History of Computing. 19: 5–16. prill–qershor 1997. doi:10.1109/85.586067. Arkivuar (PDF) nga origjinali më 2022-07-03. Marrë më 2022-07-03. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Datë e përkthyer automatikisht (lidhja) (12 pages)

[Kueveler-Schwoch_1996-27] 1 2 Küveler, Gerd; Schwoch, Dietrich (2013). Arbeitsbuch Informatik – eine praxisorientierte Einführung in die Datenverarbeitung mit Projektaufgabe (në gjermanisht). Vieweg-Verlag, reprint: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-322-92907-5. ISBN 978-3-528-04952-2. 9783322929075.

[Kueveler-Schwoch_2007-28] 1 2 Küveler, Gerd; Schwoch, Dietrich (2007-10-04). Informatik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: PC- und Mikrocomputertechnik, Rechnernetze (në gjermanisht). Vëll. 2 (bot. 5). Vieweg, reprint: Springer-Verlag. ISBN 978-3834891914. 9783834891914.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]